רדיקל (תורת החוגים) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
|||
שורה 56:
== רדיקל של מודול ==
הרדיקל <math>\operatorname{rad}(M)</math> של מודול <math>M</math> שווה לחיתוך תת-המודולים המקסימליים של <math>M</math>. הרדיקל מתאפס אם ורק אם המודול הוא [[מודול פשוט למחצה]] (כלומר סכום ישר סופי של מודולים פשוטים). הרדיקל של המנה <math>M/\operatorname{rad}(M)</math> הוא תמיד אפס. הרדיקל של סכום ישר שווה לסכום ישר של הרדיקלים המתאימים. כל הומומורפיזם של מודולים <math>f : M \rightarrow N</math> משרה הומומורפיזם <math>f : M/\operatorname{rad}(M) \rightarrow N/\operatorname{rad}(N) \rightarrow N</math>, שהוא על אם ורק אם ההומומורפיזם המקורי הוא על (זו [[הלמה של
מושג הרדיקל של מודול מכליל את [[הרדיקל של ג'ייקובסון|רדיקל ג'ייקובסון]]: אם <math>R</math> הוא חוג, הרדיקל שלו כמודול מעל עצמו שווה ל-<math>\operatorname{Jac}(R)</math>. תורת המודולים הפשוטים למחצה היא למעשה תורה של מודולים מעל חוגים פרימיטיביים למחצה, משום שכל מודול פשוט למחצה מעל חוג <math>R</math> מהווה מודול גם מעל המנה <math>R/\operatorname{Jac}(R)</math>.
| |||