משפט ההדדיות הריבועית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ניסוח |
←היסטוריה: כנראה 8 פעמים ולא 6 |
||
שורה 23:
== היסטוריה ==
בראייה היסטורית, המשפט הוא אחד הסימנים המובהקים להפיכתה של תורת המספרים למדע מגובש, שכן בעוד שתרבויות רבות הגיעו למידה מסוימת של ידע ותובנה על תבניות ריבועיות (עוד בימי הביניים), לא ניתן למצוא עדויות לרמה מתמטית שמתקרבת למשפט עד שלהי המאה ה-18. יוצא אחד מן הכלל הזה הוא [[פייר דה-פרמה]], אשר ניתן לראות כמה מטענותיו על הצגה של מספר ראשוני על ידי תבניות ריבועיות מסוימות כמרכיבות יחדיו את הטענה המכונה "משפט ההדדיות הריבועית". עם זאת, פרמה עצמו מעולם לא ניסח את המשפט במפורש. משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה במפורש בידי [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]] (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] ש[[הוכחה|הוכיח]] אותו במלואו לראשונה, בשנת [[1796]]. גאוס כינה אותו בשם "'''משפט הזהב'''", וניתן לראות עדות ל[[יופי מתמטי|חיבה שרחש לו]] בכך שפרסם
ההוכחה הראשונה שלו, ממאמרים 125-146 של ספרו "מחקרים אריתמטיים", הייתה [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבית]] באופיה. ההוכחה השנייה שלו, ממאמר 262 של ספרו זה, עשתה שימוש בתאוריית ה[[גנוס (תבניות ריבועיות)|גנוס]] של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]. ההוכחות הראשונות של גאוס היו טכניות באופן יחסי ולא שפכו אור על התשובה לשאלה: מדוע בעצם חוק ההדדיות הריבועית נכון? המצב הזה השתנה כאשר גאוס עשה שימוש ב[[סכום גאוס ריבועי|סכומי גאוס ריבועיים]] כדי להראות ששדות ריבועיים הם תת-שדות של [[שדה ציקלוטומי|שדות ציקלוטומיים]], והסיק באופן לא מפורש את ההדדיות הריבועית ממשפט הדדיות עבור שדות ציקלוטומיים. הוכחה זאת שימשה כמעין [[מנשר]] (בוסרי ביותר) של [[תורת שדות המחלקה]], תורה שניתן לראות אותה כהכללה מרחיקת לכת של ההדדיות הריבועית.
| |||