חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

נוסף בית אחד ,  לפני 15 שנים
מ
(דף חדש: במתמטיקה ויישומיה, '''חבורת סימטריות''' של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האו...)
 
חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת [[מרכז כובד|מרכז הכובד]] שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של [[סריג (גאומטריה)|סריג]] אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.
 
במקרים מסויימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
 
== ראו גם ==