חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

במקרים מסויימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).