|
|
|
==ניסוח פורמלי==
תהא <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה כלשהי, ותהא <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> [[סדרה עולה ממש]] של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]. אז הסדרה <math>\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty</math> נקראת תת-סדרה של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math>. המספרים <math>n_1, n_2, \dots</math> הם ה'''אינדקסים''' של תת-הסדרה. סדרת האינדקסים עצמה שואפת תמיד לאינסוף, ולכן ההתנהגות של תת-הסדרה באינסוף מושפעת מזו של הסדרה המקורית.
מהגדרת סדרת האינדקסים <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> כסדרה עולה, נובע שהיא מתכנסת במובן הרחב (כלמור לגבול סופי או אינסופי). למעשה, ניתן להוכיח שכסדרה עולה ממש של טבעיים <math>n_k \xrightarrow{n \to \infty} \infty</math>. ראשית, נוכיח באינדוקציה שלכל <math>k</math> טבעי מתקיים <math>n_k \ge k</math>. עבור <math>k=1</math> מתקיים <math>n_1 \ge 1</math> (כי 1 מוגדר כטבעי הקטן ביותר). נניח ש-<math>n_k \ge k</math>, אז מהגדרת <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> כעולה ממש נובע ש-<math>n_{k+1}>n_k </math>, ומכיוון שמדובר בסדרה של טבעיים קיים <math>l \in \mathbb{N}</math> כך ש-<math>n_{k+1} = n_k + l </math>. מהנחת האינדוקציה ומכך ש-<math>l</math> טבעי נובע <math> n_k + l \ge k+1 </math> (כי מ-<math>l \in \mathbb{N}</math> נובע <math>l \ge 1</math>), ולכן <math>n_{k+1} \ge k+1</math>. הוכחנו אם כך את אי-השיוויון <math>n_k \ge k</math>, ולכן לפי [[כלל הסנדוויץ'|כלל הפיצה]] <math>\lim_{k \to \infty} n_k = \lim_{k \to \infty} k=\infty </math>.
==גבול של תת-סדרה==
|
