ויקיפדיה

מספר אי-רציונלי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
הוספתי כמה אפשריות בהינתן מספר אי רציונלי אחד להגיע למספרים אי רציונלים נוספים
העברתי את התוספת למקום מתאים יותר, ומחקתי את ההוכחות שאינן נחוצות
שורה 25:
 
כל [[מספר טרנסצנדנטי]] (מספר שאינו [[מספר אלגברי|אלגברי]]) הוא אי-רציונלי. ההפך אינו בהכרח נכון. למשל <math>\sqrt{2}</math> ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
 
לכל מספר אי רציונלי a ה[[מספר הופכי]] לו <math>1/a</math> הוא גם אי רציונלי. ההוכחה: בהינתן a מספר אי רציונלי נניח בשלילה ש <math>1/a</math> הוא רציונלי אזי קיימים q,p המקיימים <math>1/a=q/p</math> כשq מספר שלם וp מספר שלם חיובי אבל אז מתקיים: <math>1/a=q/p\Longrightarrow 1=(qa)/p\Longrightarrow p=qa \Longrightarrow a=p/q</math> וזה בסתירה לכך שa הוא אי רציונלי.
 
לכל מספר אי רציונלי a לכל n טבעי<math>a^{1/n}</math> אי רציונלי. הוכחה: בהינתן a אי רציונלי נניח בשלילה ש <math>a^{1/n}</math> הוא רציונלי אבל אז לפי חוקי חזקות מתקיים:<math>{a^{1/n}}^n=a^{1/n}a^{1/n}...a^{1/n}=a^{n/n}=a</math> ומסגירות הרציונלים לכפל נקבל ש a הוא גם רציונלי.
 
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי [[כמעט כל]] המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] המספרים הרציונליים היא <math>\aleph_0</math> בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא <math>\!\, \aleph</math> (ראו [[האלכסון של קנטור]]).
 
==מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי==
אם a אי-רציונלי, אז גם ההפכי <math>1/a</math> הוא אי-רציונלי, וכך גם השורשים <math>a^{1/n}</math> (עבור n טבעי). החזקה <math>a^r</math>, כאשר r רציונלי, עשויה להיות רציונלית.
 
מספר אי-רציונלי ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי. [[הוכחה לא קונסטרוקטיבית]] לכך{{הערה|1= Jarden, D., Curiosa No. 339, Scripta Mathematica 19 (1953), p.229 {{אנגלית}}}} ניתנת על ידי הצגת המספר <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> והמספר <math>(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}=2</math>. קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי. מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מספר_אי-רציונלי"