פתרון משוואת שרדינגר בעבור פוטנציאל מדרגה – הבדלי גרסאות

מפתה להניח שההסתברות להימצאות החלקיק מן העבר הימני של מדרגת הפוטנציאל יחסיתשווה ל-<math>(\frac{B_\rightarrow}{A_\rightarrow})^2</math> (זאת על פי [[פונקציית גל|פרשנות בורן]] ההסתברותית לפונקציית הגל), אולם הנחה זאת מוטעית מיסודה (מה גם שהיא מניבה הסתברות גדולה מ-1); שורש הטעות נעוץ בהנחה המתמטית שאינה תואמת את התמונה הפיזיקלית לפיה לחלקיק יש תנע מוגדר והוא אינו ממוקם במרחב. ישנן שתי דרכים קונספטואליות שקולות לתקן את הטעות{{הערה|מאמר: How and why to think about scattering in terms of wave packets

instead of plane waves}}: האחת מתייחסת למצב עצמי של תנע החלקיק (מספר גל יחיד) אך עושה שימוש בשימור [[זרם הסתברות|זרם ההסתברות]], ואילו השנייה עושה שימוש ישיר בפרשנות בורן הסטנדרטית אך מתייחסת ל[[חבילת גלים|חבילות גלים]] רחבות מאוד המייצגות חלקיק חופשי ממוקם. ההנחה שחבילת הגלים רחבה מאוד גוררת שבהצגת התנע, לחלקיק יש טווח מספרי גל צר <math>\Delta k</math> צר מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שהוא מיוצג על ידי מספר גל יחיד (שכן כפי שניווכח בהמשך, מקדמי ההעברה וההחזרה תלויים במספר הגל הפוגע).

נניח חבילת גלים רחבה מאוד בעלת רוחב <math>d</math>. כתוצאה מהרוחב הסופי של האלומההחבילה, מהירות ההתקדמות האיטית יותר של חבילת הגלים המועברת לצד הגבוה של מדרגת הפוטנציאל גורמת לה להיות צרה יותר, ועל פי פרשנות בורן הסיכוי של החלקיק להימצא מן העבר הגבוה של מדרגת הפוטנציאל (מקדם ההעברה ''T'') שווה לאינטגרל על ריבוע משרעת פונקציית הגל בתחום שבו חבילת הגלים המועברת אינה מתאפסת, שרוחבו הוא למעשה <math>d\frac{k_2}{k_1}</math>. כיוון שהחבילה הפוגעת רחבה מאוד, ניתן לאפיין אותה בקירוב על ידי מספר גל יחיד <math>k_1</math>, ולכן היחס בין משרעת הגל המועבר למשרעת הגל הפוגע מקבל ערך יחיד <math>\frac{B_\rightarrow}{A_\rightarrow} = \frac{2k_2}{k_1+k_2} </math>. לפיכך, האינטגרל על צפיפות ההסתברות של חבילת הגלים המועברת שווה ליחס בין המשרעת המועברת למשרעת הפוגעת בריבוע, כפול יחס ההיצרות של החבילה, שהוא כאמור לעיל <math>\frac{k_2}{k_1}</math>.