פתרון משוואת שרדינגר בעבור פוטנציאל מדרגה

במכניקת הקוונטים ותורת הפיזורים, מדרגת הפוטנציאל החד-ממדית היא אידיאליזציה מתמטית המשמשת כדי למדל פגיעה, החזרה והעברה של גלי חומר. הבעיה מתייחסת לפתרון משוואת שרדינגר הבלתי-תלויה בזמן בעבור חלקיק הפוגע בפוטנציאל דמוי מדרגה בממד אחד. בדרך כלל, הפוטנציאל ממודל דרך פונקציית המדרגה של הביסייד.

חישוב

משוואת שרדינגר ופונקציית הפוטנציאל

פיזור על ידי מדרגת פוטנציאל בגובה V₀, המוראית בירוק. באיור מצוינים המשרעות וכיווני התנועה של הגלים הנעים ימינה ושמאלה. הגל הפוגע מסומן בצהוב, הגל המוחזר והמועבר בכחול, ואילו האדום לא ייתכן. E > V₀ באיור הזה.

משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בעבור פונקציית הגל $\psi (x)$ היא

$H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),$

כאשר H הוא ההמילטוניאן, ħ הוא קבוע פלאנק המצומצם, m היא מסת החלקיק ו-E האנרגיה הכוללת שלו. מדרגת הפוטנציאל היא פשוט המכפלה של V₀, גובה המחסום, ופונקציית המדרגה של הביסייד:

$V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}$

המחסום מוצב ב-x = 0, למרות שניתן לבחור בערך שרירותי עבור x₀ מבלי שהדבר ישפיע על התוצאות.

האיבר הראשון בהמילטוניאן, $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi$, הוא האנרגיה הקינטית של החלקיק.

פתרון

המדרגה מחלקת את הישר הממשי לשני חלקים: x < 0 ו-x > 0. בכל אחד מהם הפוטנציאל קבוע, מה שאומר שהחלקיק מתנהג בכל תחום בנפרד כחלקיק חופשי, והפתרון למשוואת שרדינגר הוא סופרפוזיציה של גל המתקדם שמאלה וגל המתקדם ימינה

$\psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0$,

$\psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0$

כאשר הסימנים התחתיים 1 ו-2 מסמלים את התחומים x < 0 ו-x > 0 בהתאמה, והסימנים התחתיים (→) ו-(←) במשרעות A ו-B מסמלים את כיוון וקטור המהירות של החלקיק: ימינה ושמאלה בהתאמה.

מספרי הגל בשני התחומים הם

$k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$,

$k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}$

ולשניהם אותה צורה כמו בקשר דה ברולי (בממד אחד):

$p=\hbar k$.

תנאי שפה

המקדמים A, B ניתנים לקביעה מתנאי השפה של פונקציית הגל ב-x = 0. פונקציית הגל ונגזרתה חייבות להיות רציפות בכל מקום, ולכן:

$\psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)$,

${\frac {d}{dx}}\psi _{1}(x){\Big |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\psi _{2}(x){\Big |}_{x=0}$.

לאחר הצבת פונקציות הגל, תנאי השפה מטילים את האילוצים הבאים על המקדמים

$(A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })$

$k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })$

העברה והחזרה

כדי למצוא את המשרעת המוחזרת והמשרעת המועברת בעבור גל הפוגע במדרגה משמאל, נציב B_← = 0 (אין חלקיק הפוגע במדרגה מימין), ולאחר מכן נביע את המשרעת המועברת והמשרעת המוחזרת לפי $A_{\rightarrow }$. נשים לב שמכיוון שההנחה שלנו היא שהחלקיק הוא בעל תנע מוגדר, אז הוא מרוח במידה שווה לאורך כל הציר הממשי (זהו מצב בלתי ניתן לנרמול) ולכן אין משמעות לגדלים המוחלטים של המשרעת המועברת והמוחזרת, אלא רק ליחס ביניהן למשרעת הגל הפוגע. פתרון צמד המשוואות הליניאריות נותן:

${\frac {A_{\leftarrow }}{A_{\rightarrow }}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}$

${\frac {B_{\rightarrow }}{A_{\rightarrow }}}={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}$

מפתה להניח שההסתברות להימצאות החלקיק מן העבר הימני של מדרגת הפוטנציאל שווה ל-$({\frac {B_{\rightarrow }}{A_{\rightarrow }}})^{2}$ (זאת על פי פרשנות בורן ההסתברותית לפונקציית הגל), אולם הנחה זאת מוטעית מיסודה (מה גם שהיא מניבה הסתברות גדולה מ-1); שורש הטעות נעוץ בהנחה המתמטית שאינה תואמת את התמונה הפיזיקלית לפיה לחלקיק יש תנע מוגדר והוא אינו ממוקם במרחב. ישנן שתי דרכים קונספטואליות שקולות לתקן את הטעות: האחת מתייחסת למצב עצמי של תנע החלקיק (מספר גל יחיד) אך עושה שימוש בשימור זרם ההסתברות, ואילו השנייה עושה שימוש ישיר בפרשנות בורן הסטנדרטית אך מתייחסת לחבילות גלים רחבות מאוד המייצגות חלקיק חופשי ממוקם. ההנחה שחבילת הגלים רחבה מאוד גוררת שבהצגת התנע, לחלקיק יש טווח מספרי גל $\Delta k$ צר מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שהוא מיוצג על ידי מספר גל יחיד (שכן כפי שניווכח בהמשך, מקדמי ההעברה וההחזרה תלויים במספר הגל הפוגע).

דרך א'

זרם ההסתברות בכיוון פיזור מסוים מוגדר כמכפלת צפיפות ההסתברות (ריבוע המשרעת המפוזרת) במהירות התקדמות החלקיק המקומית. על פי העיקרון של שימור זרם ההסתברות, זרם ההסתברות של הגל הפוגע שווה לזרם ההסתברות המועבר ועוד זרם ההסתברות המוחזר. מכיוון שהגל הפוגע והגל המוחזר מתקדמים באותה מהירות, ואילו יחס המהירויות של הגל המועבר והגל הפוגע הוא ${\frac {k_{2}}{k_{1}}}$, נציב במשוואות לעיל A_→ = 1 (חלקיק פוגע), $A_{\leftarrow }={\sqrt {R}}$ (החזרה), ו-B_→ = Tk₁/k₂ (העברה). לאחר פתרון בעבור T ו-R, התוצאה היא:

${\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}$

${\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.$

ניתן לפרש גם את ${\sqrt {T}}$ כממוצע הגאומטרי של מספרי הגל, חלקי הממוצע החשבוני שלהם. ניתן לראות שהתוצאות עבור R,T סימטריות ביחס להחלפה של מספרי הגל.

דרך ב'

נניח חבילת גלים רחבה מאוד בעלת רוחב $d$. כתוצאה מהרוחב הסופי של החבילה, מהירות ההתקדמות האיטית יותר של חבילת הגלים המועברת לצד הגבוה של מדרגת הפוטנציאל גורמת לה להיות צרה יותר, ועל פי פרשנות בורן הסיכוי של החלקיק להימצא מן העבר הגבוה של מדרגת הפוטנציאל (מקדם ההעברה T) שווה לאינטגרל על ריבוע משרעת פונקציית הגל בתחום שבו חבילת הגלים המועברת אינה מתאפסת, שרוחבו הוא למעשה $d{\frac {k_{2}}{k_{1}}}$. כיוון שהחבילה הפוגעת רחבה מאוד, ניתן לאפיין אותה בקירוב על ידי מספר גל יחיד $k_{1}$, ולכן היחס בין משרעת הגל המועבר למשרעת הגל הפוגע מקבל ערך יחיד ${\frac {B_{\rightarrow }}{A_{\rightarrow }}}={\frac {2k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}$. לפיכך, האינטגרל על צפיפות ההסתברות של חבילת הגלים המועברת שווה ליחס בין המשרעת המועברת למשרעת הפוגעת בריבוע, כפול יחס ההיצרות של החבילה, שהוא כאמור לעיל ${\frac {k_{2}}{k_{1}}}$.

ניתוח התוצאות

הסתברות המעבר וההחזרה בפוטנציאל מדרגה. במקווקו: התחזית הקלאסית. בקווים מלאים: התחזית הקוונטית. בעבור E < V₀ הבעיה הקלאסית והקוונטית מניבות אותן תחזיות.

אנרגיה נמוכה מגובה המדרגה (E < V₀)

בעבור אנרגיות E < V₀, פונקציית הגל לימין המדרגה היא אקספוננציאלית דועכת.

אנרגיה גבוהה מגובה המדרגה (E > V₀)

בתחום אנרגיות זה מקדמי ההעברה וההחזרה שונים מאשר במקרה הקלאסי. הם זהים עבור פגיעה משמאל ומימין:

$T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}$

$R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}$

בגבול של מדרגות נמוכות E ≫ V₀, נקבל k₁ ≈ k₂ וכך נשחזר את התוצאה הקלאסית T = 1, R = 0.

הגבול הקלאסי

התוצאה שהושגה עבור R תלויה רק ביחס האנרגיות E/V₀. זה נדמה כמפר את עקרון ההתאמה, שכן חישבנו הסתברות סופית להחזרה ללא קשר לערכו של קבוע פלאנק או למסה של החלקיק. לדוגמה, החישוב הזה חוזה כי עבור גולה המתגלגלת לקצה השולחן, תהיה הסתברות גבוהה שהיא תוחזר במקום ליפול מקצה השולחן. העקביות עם המכניקה הקלאסית משוחזרת באמצעות הסרת ההנחה הלא-פיזיקלית שמדרגת הפוטנציאל אינה רציפה. כאשר פונקציית המדרגה מוחלפת במדרגה משופעת הנמשכת לאורך מרחק סופי w, אז חישוב מדוקדק העושה שימוש בקירוב WKB מדגים שההסתברות להחזרה שואפת לאפס בגבול $wk\rightarrow \inf$, כאשר k מספר הגל של החלקיק.

ראו גם

• בור פוטנציאל אינסופי
• בור פוטנציאל סופי
• פוטנציאל דלתא