שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

</math> איברים, כאשר <math>p</math> ראשוני כלשהו ו-<math>n \geq 1</math>. טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את <math>F</math> בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו <math>n</math>, ונקבל את הדרוש.

 

 

שדה פיצול זה הוא הרחבה של <math>\mathbb{F}_p</math> שבה לפולינום <math>f</math> יש <math>p^n</math> שורשים. שורשים אלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם <math>\alpha, \beta</math> הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים <math>(\alpha \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} \beta^{p^n} = \alpha \beta</math> בבירור, וגם <math>(\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha + \beta</math> הנובע משימוש חוזר בשוויון <math>(\alpha + \beta)^p = \alpha^p + \beta^p</math>. שדה זה הוא בגודל <math>p^n</math>, והוא מסומן על ידי <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>. זהו השדה היחיד עם <math>p^n</math> איברים, מכיוון שאם נתבונן ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הכפלית של שדה שכזה, נקבל מ[[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום <math>x^{p^n} - x</math>.

== היסטוריה ==

היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיות, [[תורת המספרים האלגברית]], ו[[גאומטריה אלגברית]]. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי [[ז'וזף-לואי לגראנז']], שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של [[משוואה ממעלה שלישית]] <math>x_1, x_2, x_3</math> מקבלים בביטוי

* [[תורת גלואה]]

 

* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Field}}

* {{MathWorld}}

 

{{אלגברה מופשטת}}