תחום יסודי – הבדלי גרסאות

נוספו 154 בתים ,  לפני 4 חודשים
אין תקציר עריכה
מ (החלפות ( ליניארי))
בהינתן [[מרחב טופולוגי]] ו[[פעולת חבורה|חבורה הפועלת]] עליו, אוסף ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונות]] של נקודה יחידה (תחת פעולת החבורה) מהווה [[פעולת חבורה#מסלולים ומייצבים|מסלול]] של הפעולה. '''תחום יסודי''' (ב[[אנגלית]]: '''Fundamental domain''') של המרחב ביחס לפעולת החבורה הנתונה הוא תת-קבוצה של המרחב המכילה בדיוק נקודה אחת מכל אחד מהמסלולים הללו. התחום היסודי משמש כמימוש גאומטרי של קבוצת הנציגים של המסלולים.
 
ישנן דרכים רבות לבחור תחום יסודי. באופן טיפוסי, נדרש מהתחום היסודי לקיים מספר תכונות נאות המקלות על הטיפול בו, כגון שיהיה תת-קבוצה [[מרחב קשיר|קשירה]] של המרחב, יחד עם הגבלות מסוימות על השפה שלו, כגון שתהיה [[פונקציה חלקה|חלקה]] או [[פונקציה ליניארית למקוטעין|ליניארית למקוטעין]]. תחת פעולת החבורה, התמונות של התחום היסודי שנבחר [[ריצוף של המישור|מרצפות]] את המרחב כולו.
 
== הגדרה פורמלית ==
בהינתן חבורה ''<math>G''</math> הפועלת על מרחב טופולוגי ''<math>X''</math>, תחום יסודי עבור הפעולה הזאת הוא קבוצה ''<math>D''</math> שלהכוללת בדיוק נציג אחד מכל מסלול. באופן פורמלי, תחום יסודי ''<math>D''</math> של מרחב ''<math>X''</math> ביחס לפעולת חבורה ''<math>G''</math> מקיים את התכונות הבאות:
 
* לכל ''<math>g'' \in G</math>, ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של ''<math>D''</math> ו-''<math>gD''</math> הוא [[קבוצה ריקה|ריק]], כאשר ''g'' איבר בחבורה ''G''.;
* כל מסלול חותך את ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של ''<math>D''</math>.
 
על תכונות אלו נוספת דרישה להתנהגות טופולוגית "יפה" של התחום היסודי. למשל, בהינתן חבורת ההזזות המקושרת ל[[סריג (גאומטריה)|סריג]] במרחב אוקלידי ''n'' ממדי (חבורה שמספר ה[[קבוצת יוצרים (תורת החבורות)|יוצרים]] שלה הוא כממד המרחב), טבעי לבחור את התחום היסודי להיות המקבילון היסודי של הסריג. אולם, יכולנו גם לבחור את התחום היסודי להיות מורכב מחצי ממקבילון יסודי אחד, ומהחצי המשלים שלו ממקבילון יסודי אחר - כך מתקבל תחום יסודי שאינו קבוצה קשירה, אך העונה לשתי הדרישות הראשונות. לכן, בבחירת תחום יסודי בדרך כלל נדרש ממנו להיות קבוצה קשירה.
התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת [[חבורה מודולרית|החבורה המודולרית]] Γ על חצי המישור העליון ''H''.
 
תרשים מפורסם זה מופיע בכל הספרים הקלאסיים על [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]]. הוא היה ידוע ל[[קרל פרידריך גאוס]], אשר עסק בתחומים יסודיים במסגרת מחקריו על תורת הרדוקציה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]]. כאן, התחום היסודי ''U'' הוא [[גאומטריה היפרבולית|משולש היפרבולי]] עם קודקוד "אידיאלי" אחד (קודקוד אחד באינסוף), ושתי זוויות של <math>\pi/3</math> כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:
<math>\pi/3</math> כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:
:<math>U = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}.</math>