ויקיפדיה

אלגברת הקווטרניונים של המילטון – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Alun Ap Owin (שיחה | תרומות)
347 עריכות
אין תקציר עריכה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד עריכה מתקדמת מהנייד
הוספת תבנית, החלפות (, )
שורה 7:
הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידו בשנת [[1843]].{{הערה|On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (מכתב ל-John T. Graves, מ-17 באוקטובר 1843)}} קדמו לגילוי של המילטון [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'|זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר]] משנת 1748, ו[[נוסחת אוילר-רודריגז לתיאור סיבובים]] משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התיאור של הקווטריונים. [[קרל פרידריך גאוס]] הציג את הנוסחאות לכפל קווטרניונים ברשימה קצרה מ-[[1819]] תחת הכותרת "Mutationen des Raumes", שלא פורסמה עד אחרי מותו.
 
המילטון שאב השראה מההקבלה בין [[מספרים מרוכבים]] לבין נקודות על מישור דו-ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:
<math>c=x+yi=re^{i\theta}</math> ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמה סיבוב של נקודה <math>x = x + iy</math> בזווית <math>\alpha</math> מתבצעת על ידי הכפלה:
<math>c'=ce^{i\alpha}=c(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))</math>.
בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך ל[[גשר ברום]] (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטרניונים:
<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.
 
תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, [[פיטר טייט]] ו[[בנג'מין פירס]] הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמה הם הראו שאת [[משוואות מקסוול]] ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה-80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש ב[[אנליזה וקטורית]]. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו [[ג'וסיה וילארד גיבס]] ו[[אוליבר הביסייד]] הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.
 
לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור סיבובים במגוון של תחומים הכוללים [[גרפיקה ממוחשבת]], [[אווירודינמיקה]], [[תורת הבקרה]], [[עיבוד אותות]], [[פיזיקה]] ו[[ביואינפורמטיקה]]. משחק המחשב [[טומב ריידר (משחק וידאו, 1996)|טומב ריידר]] משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים. כמו כן, במערכות [[טוס על חוט]] (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון כל חלקיק שנייה).
שורה 22:
: <math>\ jk=i</math>, אבל <math>\ kj=-i</math>;
: <math>\ ki=j</math>, אבל <math>\ ik=-j</math>.
קווטרניונים אלה יוצרים את [[חבורת הקווטרניונים]]. כ[[מנמוניקה|אמצעי עזר חזותי]] לזכירת כללי הכפל של הקווטרניונים ניתן להציב את <math> i,j,k </math> במעגל באופן כזה שהמעבר מכל קווטרניון יסודי לקווטרניון היסודי הבא מתבצע בכיוון השעון. לאור הבנייה הזאת, כפל קווטרניונים יסודיים מתבצע בצורה הבאה: כפל של כל שניים מהם ייתן את השלישי, עם סימן חיובי כאשר האיבר הימני נמצא צעד אחד ב[[כיוון השעון]] ביחס לאיבר השמאלי, ועם סימן שלילי כאשר ההפך הוא הנכון.
 
החיבור של שני קווטרניונים הוא:
שורה 37:
<math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} i & \;\;0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} \;\;0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} +d\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math>. במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור ו[[כפל מטריצות]].
 
דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כ[[זוג סדור]] של [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] ו[[וקטור (אלגברה)|וקטור]] תלת-ממדי: <math> \left( \alpha , \vec u \right) </math>. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:
: <math> \left( \alpha , \vec u \right) + \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha + \beta , \vec u + \vec v \right) </math>;<math>x=qy+r</math>
: <math> \left( \alpha , \vec u \right) \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha\beta - \vec u \cdot \vec v , \alpha \vec v + \beta \vec u + \vec u \times \vec v \right) </math> - כפל גרסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות ה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]]. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות: <math> (a,0) (b,0) = (ab,0) ; (a,0)(0, \vec v) = (0, a\vec v) </math> והזהות <math> \left( 0, \vec u \right) \left( 0, \vec v \right) = \left( -\vec u \cdot \vec v, \vec u \times \vec v \right) </math>, שממנה נגזרו מאוחר יותר הגדרות ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] וה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]].
 
הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על ידי פעולת ההצמדה: החבורה <math>\ \mathbb{H}^1</math> של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי <math>\ \mathbb{H}_0 = \{x \in \mathbb{H} \mid \operatorname{tr}(x) = 0\}</math>; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם <math>\ \mathbb{H}^1/\{\pm 1\} \rightarrow \operatorname{SO}(3)</math> לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).
 
== קווטרניונים שלמים ==
אוסף הקווטרניונים מהצורה <math>\ a+bi+cj+dk</math> עבור <math>\ a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר ליפשיץ''' ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם <math>\ a,b,c,d \in \frac{1}{2} + \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר הורוויץ'''. מסדר הורוויץ מהווה [[מסדר מקסימלי]] יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים <math>\ \mathbb{Q}[i,j]</math>, ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה ל[[משפט ארבעת הריבועים של לגרנז']]. האחרון הוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": לכל <math>x,y</math> אפשר לחלק עם שארית כאשר <math>|r| \leq |y|</math>.
 
== אינווריאנטים מקומיים ==
שורה 58:
 
{{מערכות מספרים}}
{{אלגברה מופשטת}}
 
[[קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אלגברת_הקווטרניונים_של_המילטון"