פתרון סינגולרי – הבדלי גרסאות

נתייחס למשוואה הדיפרנציאלית הלינאריתהליניארית ההומוגנית

:<math> xy'(x) +2y(x)= 0 , \,\!</math>

נתייחס למשוואה הדיפרנציאלית

פתרון אחר ניתן על ידי

מכיוון שהבעיה שנחקרת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון, תנאי ההתחלה הם הערכים ההתחלתיים של ''x'' ו-''y''. אם נסתכל על שני הפתרונות לעיל, ניתן יהיה לראות שהפתרון אינו יחיד כאשר <math>y=0</math> (ניתן להראות שאם <math>y>0</math> וענף יחיד של השורש הריבועי נבחר, אז יש פתרון מקומי יחיד בהתאם ל[[משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)|משפט הקיום והיחידות]]). בעבור משפחת הפתרונות הראשונה <math> y_c(x) </math>, יחידות הפתרון מופרת בנקודה יחידה <math>x=c</math>, ואילו בעבור הפונקציה הקבועה <math>y_s(x)</math> ("הפתרון הסינגולרי") יחידות הפתרון מופרת בעבור כל ערך של ''x''. לפיכך, הפתרון <math> y_s(x) </math> הוא סינגולרי במובן החזק מכיוון שיחידות הפתרון מופרת עבור כל ערך של ''x''.

ניתן להיעזר בהפרת יחידות הפתרון כדי לבנות פתרונות נוספים, המורכבים בחלקם מן הפתרונות הסטנדרטיים ובחלקם האחר מהפתרון הסינגולרי. למשל, ניקח שני קבועים <math>c_1 < c_2 </math> ונגדיר את הפונקציה <math>y(x)</math> להיות <math>(x-c_1)^2</math> כאשר <math>x < c_1</math>, להיות <math>0</math> כאשר <math>c_1\leq x\leq c_2</math>, ולהיות <math>(x-c_2)^2</math> כאשר <math>x > c_2</math>. חישוב ישיר מראה שזהו פתרון למשוואה הדיפרנציאלית בכל נקודה, כולל <math>x=c_1</math> ו-<math>x=c_2</math>.

:<math> p = y' = p + x p' + 2 p p' \,\!</math>

:<math> c \cdot x + c^2 = y_c(x) = y_s(x) = -(1/4) \cdot x^2 \,\!</math>

מה שאומר שהצורה הכללית של נקודת החיתוך היא <math>(-2c , -c^2)</math>.

ולכן,

[[קטגוריה: משוואות דיפרנציאליות]]