ויקיפדיה

משוואת המילטון-יעקובי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ העיתונאי המנטר העביר את הדף משוואת המילטון־יעקובי לשם משוואת המילטון-יעקובי: כמקובל
Yehuger (שיחה | תרומות)
275 עריכות
מ הגהה, הערה
שורה 1:
ב[[מכניקה אנליטית]], '''משוואת המילטון־יעקוביהמילטון-יעקובי''' היא ניסוח חלופי של ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]]. המשוואה שקולה לניסוחים אחרים כגון [[חוקי התנועה של ניוטון]], ה[[לגראנז'יאן|מכניקה הלגראנז'ית]] ו[[המילטוניאן|המכניקה ההמילטוניאנית]]. המשוואה נקראת על שמם של [[ויליאם רואן המילטון]] ו[[קרל גוסטב יעקב יעקובי|קרל גוסטב יעקובי]] שפתחו אותה בראשית המאה ה-19.
 
משוואת המילטון־יעקובי שימושית במיוחד במציאת [[חוק שימור|גדלים נשמרים]] במערכות בהן מציאת הפתרון המלא של המערכת איננה אפשרית.
שורה 15:
 
== ניסוח מתמטי ==
בהינתן סט של [[קואורדינטות קנוניות]] <math>\{q_i,p_i\}_{i=1}^n</math> ו[[המילטוניאן]] <math>H(\mathbf{q};\mathbf{p};t)</math> עבור מערכת פיזיקלית כך שמתקיימים [[המילטוניאן#משוואות המילטון|משוואות המילטון]] <math>\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\dot{p_i}=\frac{\partial H}{\partial q_i}</math> ה'''פונקציה המנהלת של המילטון <math>S(\mathbf{q};\alpha_1...,\alpha_n;t)</math>''' (Hamilton's principal function, פירוט בהמשך) הפותרת את '''משוואת המילטון־יעקוביהמילטון-יעקובי''':
 
<math>\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(\mathbf{q};\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right)=0</math><ref>משוואת המילטון-יעקובי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם <math>n+1</math> משתנים - <math>n</math> קואורדינטות מוכללות והזמן. ולכן לפתרון המלא שלה יש <math>n+1</math> קבועי אינטגרציה. אולם מאחר שבמשוואת המילטון-יעקובי לא מופיעה הפונקציה עצמה, אלא רק נגזרות חלקיות שלה, קבוע אינטגרציה אחד יכול להיות קבוע אדדטיבי, כלומר אם <math>S</math> פתרון אז גם <math>S+c</math> פתרון. קבוע זה חסר כל משמעות פיזיקלית ולכן ניתן להתעלם מקיומו, כך שלפתרון הנדרש קיימים <math>n</math> קבועי אינטגרציה שאף אחד מהם איננו אדדטיבי</ref>
<math>\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(\mathbf{q};\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right)=0</math>
 
מקיימת <math>p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}</math> ו-<math> \frac{d\beta_i}{dt} =\frac{d}{dt} \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = 0</math>. כלומר הגדלים <math>\beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}</math> הם גדלים נשמרים. גם הגדלים <math>\alpha_i</math> הם קבועים במהלך התנועה. אם ידועים הערכים הללו בזמן <math>t=t_0</math> ניתן להפוך את סט המשוואות <math>f_i(\mathbf{q};\alpha_1,...\alpha_n;t) = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i</math> ולקבל <math>q_i = q_i(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,t)</math>.
 
אם ההמילטוניאן לא תלוי ישירות בזמן <math>H(\mathbf{q};\mathbf{p})</math> ה'''פונקציה הקרקרטריסטיתהקרקטריסטית של המילטון <math>W(\mathbf{q};\gamma_1,...,\gamma_n)</math>''' (Hamilton's characteristic function) הפותרת את '''משוואת המילטון־יעקוביהמילטון-יעקובי הלא תלויה בזמן''':
 
<math>f(\gamma_1, ..., \gamma_n) = H\left(\mathbf{q};\frac{\partial W}{\partial q_1},...,\frac{\partial W}{\partial q_n}\right)</math>
 
מקיימת <math>p_i = \frac{\partial W}{\partial q_i}</math> וכן <math>\frac{d}{dt} \frac{\partial W}{\partial \gamma_i} = \frac{\partial f}{\partial \gamma_i} = v_i \implies \frac{\partial W}{\partial \gamma_i } = v_i t + \beta_i </math>. הפונקציה <math>f</math> ניתנת לבחירה כדי לפשט את הביטויים בפתרון, ובחירות שונות לא ישנו את פתרון הבעיה. אם נעשה שימוש בפונקציה <math>f(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha_1</math>, מתקיים<math> \frac{\partial W}{\partial \alpha_i} = \left\{ \begin{matrix} t+\beta_1 & i=1 \\ \beta_i & i\neq 1 \end{matrix} \right. </math> ומתקיים הקשר הבא בין הפונקציה המנהלת לפונקציה הקרקטריסטית <math>S(\mathbf{q};\alpha_1,...,\alpha_n;t) = W(\mathbf{q};\alpha_1alpha_2,...,\alpha_n) - \alpha_1 t</math>, אם הלגרנז'יאן המקורי יכול להיכתב בצורה <math>L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})= L_0(\mathbf{q}) + \sum_{i,j=1}^n L_2^{ij}(\mathbf{q}) \dot{q_i}\dot{q_j}</math> אז <math>\alpha_1=E</math> היא האנרגיה של המערכת .
 
== פיתוח באמצעות פונקציה יוצרת ==
שורה 37:
כלומר מתקיים <math>S(\mathbf{q};\boldsymbol{\alpha};t) = \int L\ dt + c</math>. משוואה זו מזכירה את הגדרת ה[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]] של המערכת <math>S_{action}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_0}^{t_1} L(\mathbf{q}(t);\dot\mathbf{q}(t);t)\ dt</math> המשמשת ב[[עקרון המילטון|עקרון הפעולה המינימלית]] כדי לפתח את [[משוואת אוילר-לגראנז'|משוואות אוילר־לגראנז']]. על אף שהפונקציה המנהלת והפעולה מזכירות אחת את השנייה, הן אובייקטים מתמטיים שונים - הפונקציה המנהלת היא פונקציה בעלת תחום במרחב הפאזה והזמן, לעומתה הפעולה היא פונקציונל בעלת תחום במרחב המסלולים הפיזיקליים במרחב הקונפיגורציות.
 
הקשר בין הפונקציה המנהלת לפעולה נובע מכך שאם נסתכל במערכת, שהתחילה בזמן <math>t=t_0</math> בנקודה במרחב הקונפיגורציות <math>\mathbf{q}=\mathbf{q}_0</math> והמקיימת <math>\dot\mathbf{q}(t_0)= \mathbf{v}_0</math> המסלול <math>\mathbf{q}(t) </math> המייצר נקודת אקסטרימום לפעולה נקבע באופן יחיד מתנאי ההתחלה. בנוסף, אם הפרש הזמנים בין שתי נקודות קטן מספיק, קיים רק מתנאי התחלה אחד (ולפיכך רק מסלול אחד) שיכול להביא את המערכת מהנקודה <math>\mathbf{q}(t_0) = \mathbf{q_0}</math> לנקודה <math>\mathbf{q}(t) = \mathbf{q}</math> כך שהפעולה תקבל ערך אקסטרימום. לפיכך, בהינתן נקודת התחלה במרחב הקונפיגורציות, ניתן להגדיר פונקציה של הקוארדינטות בסיום המסלול <math>\mathbf{q}</math> כך ש-<math>S(\mathbf{q},t;\mathbf{q_0},t_0) = S_{action}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_0}^{t_1} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\ dt</math>, כאשר המסלול הוא המסלול היחיד בו הפעולה מקבלת ערך אקסטרימום. הפונקציה הזו מקיימת את משוואת המילטון־יעקוביהמילטון-יעקובי, והיא למעשה הפונקציה המנהלת של המילטון. בפיתוח זה, התנעים הקנוניים <math>\boldsymbol{\alpha}</math> שהפונקציה המנהלת תלויה בהן מופיעים כקבועי אינטגרציה של פתרון משוואת המילטון־יעקוביהמילטון-יעקובי. הקואורדינטות הראשוניות והסופיות <math>\mathbf{q}_0,\mathbf{q}</math> קובעות את המהירויות הראשוניות ובאמצעותן את הערכים של <math>\boldsymbol{\alpha}</math>.
 
באופן דומה, הנגזרת המלאה לפי הזמן של הפונקציה הקרקטריסטית מקיימת:
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משוואת_המילטון-יעקובי"