משוואת המילטון-יעקובי – הבדלי גרסאות

הקשר בין הפונקציה המנהלת לפעולה נובע מכך שאם נסתכל במערכת, שהתחילה בזמן <math>t=t_0</math> בנקודה במרחב הקונפיגורציות <math>\mathbf{q}=\mathbf{q}_0</math> והמקיימת <math>\dot\mathbf{q}(t_0)= \mathbf{v}_0</math> המסלול <math>\mathbf{q}(t) </math> המייצר נקודת אקסטרימוםאקסטרמום לפעולה נקבע באופן יחיד מתנאי ההתחלה. בנוסף, אם הפרש הזמנים בין שתי נקודות קטן מספיק, קיים רק מתנאי התחלה אחד (ולפיכך רק מסלול אחד) שיכול להביא את המערכת מהנקודה <math>\mathbf{q}(t_0) = \mathbf{q_0}</math> לנקודה <math>\mathbf{q}(t) = \mathbf{q}</math> כך שהפעולה תקבל ערך אקסטרימום. לפיכך, בהינתן נקודת התחלה במרחב הקונפיגורציות, ניתן להגדיר פונקציה של הקוארדינטות בסיום המסלול <math>\mathbf{q}</math> כך ש-<math>S(\mathbf{q},t;\mathbf{q_0},t_0) = S_{action}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_0}^{t_1} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\ dt</math>, כאשר המסלול הוא המסלול היחיד בו הפעולה מקבלת ערך אקסטרימום. הפונקציה הזו מקיימת את משוואת המילטון-יעקובי, והיא למעשה הפונקציה המנהלת של המילטון. בפיתוח זה, התנעים הקנוניים <math>\boldsymbol{\alpha}</math> שהפונקציה המנהלת תלויה בהן מופיעים כקבועי אינטגרציה של פתרון משוואת המילטון-יעקובי. הקואורדינטות הראשוניות והסופיות <math>\mathbf{q}_0,\mathbf{q}</math> קובעות את המהירויות הראשוניות ובאמצעותן את הערכים של <math>\boldsymbol{\alpha}</math>.