מספר טבעי – הבדלי גרסאות

במסגרת היציקה המודרנית של ה[[מתמטיקה]] לשפת [[תורת הקבוצות]], הציע הלוגיקאי [[גוטלוב פרגה]] שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאיברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש [[פרדוקס]]ים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו (ראו [[פרדוקס קנטור]]).

 

 

[[ג'ון פון נוימן|פון נוימן]] הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך [[תורת הקבוצות האקסיומטית]]: המספר [[0 (מספר)|0]] מוגדר כ[[הקבוצה הריקה|קבוצה הריקה]], וכל מספר <math>\ n</math> מוגדר כקבוצה <math>\ n = \{0,1,\dots,n-1\}</math>. כך למשל, <math>\ 4 = \{0,1,2,3\} = \{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\},\{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\}\}\}</math>.