קריטריון אייזנשטיין – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''קריטריון איזנשטיין''' נותן תנאי מספיק לכך ש[[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר שלם|שלמים]] הוא [[פולינום אי פריק|אי פריק]] מעל [[חוג השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math> (לפי [[הלמה של גאוס (פולינומים)|למה של גאוס]], פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>).
== נוסח המשפט ==
שורה 7:
* <math>\ p^{2}</math> לא מחלק את <math>\ a_{0}</math>.
פולינום המקיים תנאי זה
באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל [[תחום שלמות]] D מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] ראשוני P של D, כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל-P, וכך שהמקדם החופשי אינו שייך לאידאל <math>\ P^2</math>. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל D (
▲באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל [[תחום שלמות]] D מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] ראשוני P של D, כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל-P, וכך שהמקדם החופשי אינו שייך לאידאל <math>\ P^2</math>. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל D (ולפי [[הלמה של גאוס (פולינומים)|הלמה של גאוס]], הוא אי פריק מעל [[שדה שברים|שדה השברים]] של D).
ב[[שדה מקומי]], כל [[הרחבה מסועפת לחלוטין]] מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.
שורה 24 ⟵ 23:
התבוננו לדוגמה בפולינום <math>\ h(x)=x^{2}+x+2</math>. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של ''x''. אבל, אם נציב <math>\ x+3</math>, נקבל את הפולינום <math>\ h(x+3)=x^{2}+7x+14</math>, אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.
==הוכחה
(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב-<math>\ f(x)</math> כפולינום מודולו <math>\ p</math>, כלומר נעתיק את המקדמים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ Z_{p}</math>. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-<math>\ p</math> נקבל את הפולינום <math>\ cx^{n}</math> עם מקדם כלשהו שונה מאפס <math>\ c</math>. נניח בשלילה שניתן לפרק את <math>\ f</math> לשני פולינומים <math>\ g</math> ו-<math>\ h</math> שהמכפלה שלהם שווה ל-<math>\ f</math> ונקבל ש-
| |||