חוג דדקינד – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Baril~hewiki (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
עריכה חלקית |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ובעיקר ב[[אלגברה מופשטת|אלגברה]], [[תורת המספרים]] ו[[גאומטריה אלגברית]], '''חוג דדקינד''' הוא [[תחום שלמות]] [[חוג נותרי|נותרי]]
הדוגמא הבולטת לחוגי דדקינד היא אוסף המספרים השלמים ב[[שדה מספרים]], ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם ב[[תורת המספרים האלגברית]]. לאידיאלים הראשוניים בחוג דדקינד יש תפקיד דומה לזה שמעניק [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] ל[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] ב[[חוג המספרים השלמים]]: כל אידיאל (שונה מאפס) אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של אידיאלים ראשוניים. כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא חוג דדקינד.
== הגדרות שקולות ==
התפקיד המרכזי של חוגי דדקינד באלגברה קומוטטיבית מאפשר לאפיין אותם בדרכים רבות, המספקות מספר הגדרות חלופיות. תחום שלמות הוא חוג דדקינד אם -
* הוא נותרי ובעל [[ממד קרול]] 1, וכל [[אידיאל פרימרי]] (שונה מאפס) הוא חזקה של אידיאל ראשוני;
* הוא נותרי, וה[[מיקום]] ביחס לכל אידיאל ראשוני הוא [[תחום הערכה דיסקרטית]];
* הוא "פירוקי" (כלומר - כל אידיאל הוא מכפלה של אידיאלים ראשוניים באופן יחיד [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סדר);
* הוא נותרי, וכל אידיאל מקסימלי הוא [[מודול הפיך|הפיך]];
* כל אידיאל ראשוני (שונה מאפס) הוא הפיך;
* כל אידיאל שונה מאפס הוא הפיך;
* כל אידיאל הוא [[מודול פרוייקטיבי|פרוייקטיבי]].
(קיימות הגדרות שקולות רבות אחרות).
== דוגמאות ==
מספר דוגמאות של חוג דדקינד הם: חוג השלמים, [[חוג פולינומים]] <math>\ F[X]</math> במשתנה אחד מעל [[שדה]] <math>\ F</math> כלשהו וכל [[תחום ראשי]] אחר. אף על פי כן ההיפך לא נכון. הדוגמאות החשובות ביותר ובראיה לאחור מדרבנות באות מתחום של שדות [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]]. נתחיל מ[[הרחבת שדות|הרחבה סופית]] <math>\ F</math> של [[מספרים רציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math> ונתבונן בקבוצה של כל איברי <math>\ F</math> שהם [[שלם אלגברי|שלמים אלגבריים]] (כלומר סגור שלם של <math>\ \mathbb{Z}</math> ב-<math>\ F</math>). זה נותן חוג דדקינד ו-<math>\ F</math> שדה שברים שלו. ליתר פירוט חוג [[שלמים של גאוס]], כלומר <math>\ \{ai+b\ |\ a,b \in \mathbb{Z}\}</math> כתת-חוג של <math>\ \mathbb{C}</math>.
|