כמעט כל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←טופולוגיה: תיקון קישור |
שכתוב |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], משתמשים לעתים בביטוי "כמעט כל" במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה '''זניחה'''"
▲"כמעט בכל מקום" = "הכל, פרט אולי למספר סופי".
כאשר עוסקים בסדרות, או ב[[קבוצה בת מניה|קבוצות בנות מניה]] באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה
=== הכל פרט לקבוצה בת צפיפות אפס ===
כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, ב[[תורת המספרים]],
לדוגמה, [[משפט המספרים הראשוניים]] קובע כי המספר של [[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ממספר נתון <math>\ n</math> שווה בקירוב ל- <math>\ n/\ln(n)</math>. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר <math>\ n</math> גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם [[מספר פריק|מספרים פריקים]], למרות שקיימים אין סוף מספרים ראשוניים.▼
== הכל פרט לקבוצה ממידה אפס ==
▲ב[[תורת המספרים]] משתמשים במונח "כמעט כל" כדי לציין קבוצה שלמשלים שלה יש [[צפיפות (תורת המספרים)|צפיפות]] אפס. נניח ש- <math>\ p(n)</math> הוא מספרם של ה[[מספר טבעי|טבעיים]] <math>\ 1,2,...,n</math> המקיימים תכונה מסוימת. אומרים ש'''כמעט כל''' המספרים מקיימים את התכונה, אם הגבול <math>\ p(n)/n</math> ← 1 כאשר <math>\ n</math> ← ∞. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על-ידי <math>(\forall^\infty n) P(n)</math>.
ב[[תורת המידה]] אומרים שתכונה מתקיימת '''כמעט בכל מקום''' (Almost everywhere או .a.e) אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש [[מידה אפס]]. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.
▲לדוגמה, [[משפט המספרים הראשוניים]] קובע כי המספר של [[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ממספר נתון <math>\ n</math> שווה בקירוב ל- <math>\ n/\ln(n)</math>. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר <math>\ n</math> גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם [[מספר פריק|מספרים פריקים]], למרות שקיימים אין סוף מספרים ראשוניים.
באותו אופן, ב[[הסתברות|תורת ההסתברות]] אומרים שמאורע יתרחש "כמעט בוודאות" אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון".
== הכל פרט לקבוצה דלילה ==
ב[[טופולוגיה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] או [[מרחב בייר|מרחבי בייר]] ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות ה[[קבוצה דלילה|קבוצות הדלילות]] את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, "התכונה P מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא אינה מתקיימת בקבוצה דלילה.
| |||