לגראנז'יאן – הבדלי גרסאות

'''לגראנז'יאן''' (או לגרנג'יאן) הוא [[פונקציה]] המתארת מערכת פיזיקלית (בדרך כלל חסרת [[חיכוך]]), בעזרתה ניתן לרשום את משוואות התנועה של המערכת. משוואות אלו נקראות [[משוואת אוילר-לגראנז']], והן שקולות ל[[חוקי התנועה של ניוטון|חוק השני של ניוטון]]. יתרונו של הפורמליזם הלרנז'יאני בכך שהוא מאפשר גזירה פשוטה יותר של משוואות התנועה, ומדגיש את חשיבות ה[[סימטריה]] של המערכת לגבי אופן התנהגותה. פורמליזם אלגנטי זה פותח על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']] ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]].

 

: <math>L(q,\dot{q},t)=T(q,\dot{q},t)-U(q,\dot{q},t)</math>

כאן <math>\ q</math> היא קבוצת קואורדינטות מוכללות (<math>\ q_1,q_2...q_n</math>) ו <math>\ \dot{q}</math> הן נגזרותיהן לפי הזמן (מהירויות מוכללות)

 

<math>\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}} \right)=\frac {\partial L}{\partial q}</math><br />

 

 

[[תמונה:pendulum.png|שמאל|ממוזער|250px|מטוטלת מתמטית]]

<math> T= \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 </math>

והאנרגיה הפוטנציאלית (כתוצאה מהכבידה):

<math> L = T - U = \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos \theta </math>

<math>\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot {\theta}} \right) = \frac {d}{dt} (m l^2 \dot{\theta} ) = m l^2 \ddot{\theta} = \frac {\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin \theta</math>.

 

<math>\ddot {\theta} = - \frac {g}{l} \theta</math>.

כדאי לשים לב שגם <math>L = \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos \theta + \dot {\theta} \theta</math>

<math>\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot {\theta}} \right) = \frac {d}{dt} (m l^2 \dot{\theta} + \theta ) = m l^2 \ddot{\theta} + \dot {\theta} = \frac {\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin \theta + \dot {\theta}</math> ומקבלים את אותה משוואת התנועה.