|
'''המשוואה הפונקציונלית של [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]]''' היא אחת מה[[משוואה פונקציונלית|מהמשוואותמשוואות הפונקציונליות]] הפשוטות ביותר להצגה, אך הפתרון שלה מעל המספרים הממשיים הוא מורכב באופן קיצוני ביותר. המשוואה הינה
:<math>\ f(x+y)=f(x)+f(y) </math>
מעל ה[[מספר רציונלי|המספריםמספרים הרציונליים]] ניתן להראות בנקל כי קיימת משפחה יחידה של פתרונות מהצורה <math>\ f(x) = cx</math>, כאשר <math>\ c</math> הוא קבוע שרירותי. משפחה זו של פתרונות היא נכונה בבירור גם מעל [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], אבל שם קיימים גם פתרונות אחרים. מתן תנאים נוספים על <math>\ f</math> מאפשר פסילה של קיום פתרונות אחרים, למשל:
* <math>\ f</math> [[רציפות|רציפה]]. לכל מספר ממשי נתון, קיימת סדרה של מספרים רציונליים המתכנסת אליו. באמצעות הגדרת הרציפות של היינה, ניתן להשתמש בכך על מנת להראות כי כל פתרון למשוואה מעל הממשיים הוא מהצורה דלעיל. למעשה, מספיק לדרוש כי הפונקציה תהיה רציפה בנקודה אחת, שכן אם <math>\ f</math> רציפה בנקודה <math>x \in \mathbb{R}</math> וברצוננוונדרש להראות את רציפותה בנקודה <math>\ y \in \mathbb{R}</math>, נשתמשמשתמשים במשוואה הפונקציונלית ונקבלומקבלים <math>f(y + \delta) - f(y) = f(x + \delta) - f(x) \to 0</math>.
* קיים קטע בושבו <math>\ f</math> [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]].
* קיים קטע בושבו <math>\ f</math> חסומה.
מאידךב-[[1905]] גיסאהוכיח [[גיאורג המל]], תוך שימוש ב[[בסיס המל]], כי אם לאאין מתנים תנאים נוספים על <math>\ f</math> מעבר למשוואה לעיל, אזאזי (בהנחת [[אקסיומת הבחירה]]) קיימות אינסוף פונקציות אחרות אשר מקיימותשמקיימות את המשוואה. עובדה זו הוכחה ב-[[1905]] ע"י [[גיאורג המל]] תוך שימוש ב[[בסיס המל]]. הבעיה החמישית ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]] היא הכללה של משוואה זו.
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
| 