ויקיפדיה

המשוואה הפונקציונלית של קושי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
עריכה
שורה 1:
'''המשוואה הפונקציונלית של [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]]''' היא אחת מהה[[משוואה פונקציונלית|משוואותמשוואה הפונקציונליותהפונקציונלית]] הפשוטות ביותר להצגה, אך הפתרון שלה מעל המספרים הממשיים הוא מורכב באופן קיצוני ביותר. המשוואה הינה
:<math>\ \forall x\,\forall y\,: f(x+y)=f(x)+f(y) </math>.▼
זוהי אחת המשוואות הפונקציונליות הפשוטות ביותר להצגה, אך פתרונותיה הלא-רציפים מדגימים פתולוגיות המשותפות למשוואות פונקציונליות רבות אחרות.
 
כמו בכל משוואה פונקציונלית אחרת, הבעיה היא למצוא את הפונקציות <math>\ f</math> המקיימות את התנאי שהוזכר לעיל. מעל ה[[מספרשדה רציונליהמספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]], כלומר, עבור פונקציות <math>\ f : \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}</math>, ניתן להראות בנקל כישכל קיימתפתרון משפחההוא יחידה של פתרונותליניארי, מהצורה <math>\ f(x) = cx</math>, כאשר <math>\ c\in \mathbb{Q}</math> הוא קבוע שרירותי. משפחה זו של פתרונות היא נכונה בבירור גם מעל ה[[מספרשדה ממשי|המספרים הממשיים|מספרים הממשיים]], אבל שם קיימים גם פתרונות אחרים. מתןהטלת תנאיםמגבלות נוספיםנוספות על <math>\ f</math> מאפשרמביאה פסילה של קיוםלפסילת פתרונות אחריםאלה, כך שנותרים רק הפתרונות הליניאריים. למשל:▼
▲:<math>\ f(x+y)=f(x)+f(y) </math>
 
* <math>\ f</math> [[רציפות|רציפה]] בכל מקום.
▲מעל ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] ניתן להראות בנקל כי קיימת משפחה יחידה של פתרונות מהצורה <math>\ f(x) = cx</math>, כאשר <math>\ c</math> הוא קבוע שרירותי. משפחה זו של פתרונות היא נכונה בבירור גם מעל [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], אבל שם קיימים גם פתרונות אחרים. מתן תנאים נוספים על <math>\ f</math> מאפשר פסילה של קיום פתרונות אחרים, למשל:
 
* <math>\ f</math> [[רציפות|רציפה]] בנקודה אחת. תנאי זה גורר רציפות בכל נקודה. אכן, לכל מספר ממשי נתון, קיימת סדרה של מספרים רציונליים המתכנסת אליו. באמצעות [[רציפות#הגדרות|הגדרת הרציפות של היינה]], ניתן להשתמש בכך על מנת להראות כי כל פתרון למשוואה מעל הממשיים הוא מהצורה דלעיל. מספיק לדרוש כי הפונקציה תהיה רציפה בנקודה אחת, שכן אם <math>\ f</math> רציפה בנקודה <math>x \in \mathbb{R}</math> ונדרש להראות את רציפותה בנקודה <math>\ y \in \mathbb{R}</math>, משתמשים במשוואה הפונקציונלית ומקבלים <math>\ f(y + \delta) - f(y) = f(x + \delta) - f(x) \to 0</math> כאשר <math>\ \delta\to 0</math>.
 
* קיים קטע שבו <math>\ f</math> [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]].
שורה 11 ⟵ 13:
* קיים קטע שבו <math>\ f</math> חסומה.
 
ב-[[1905]] הוכיח [[גיאורג המל]], תוך שימוש ב[[בסיס המל]], כי אם(בהנחת אין[[אקסיומת מתניםהבחירה]]) תנאיםללא נוספיםהנחות נוספות על <math>\ f</math> מעבר למשוואה לעילהיסודית, אזי (בהנחת [[אקסיומת הבחירה]]) קיימות אינסוף פונקציות אחרות שמקיימות את המשוואה. ה[[הבעיה החמישית של הילברט|בעיה החמישית]] ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]] היא הכללה של משוואה זו.
 
==הוכחת הפתרון מעל הרציונליים==
 
נציב במשוואה <math>\ y = 0</math> ונקבל <math>\ f(x+0)=f(x)+f(0)</math>, אזיבפרט <math>\ f(0)=0</math>.
<br /><br />
כעת, נציב <math>\ y=-x</math> ונקבל <math>\ f(x-x)=f(x)+f(-x)</math>, אזיכלומר, <math>\ f(-x)=-f(x)</math>.
<br /><br />
באינדוקציה, נקבל מהמשוואה כי <math>\ f(mx)=mf(x)</math> לכל מספר טבעי <math>\ m</math>. עפ"י ההצבה הקודמת, זה נכון לכל m שלם.
<br /><br />
נשים לב כי <math>\ f(x)=f \left( m \frac{x}{m} \right)</math> לכל שלם m ולכן, עפ"י הנ"ל, <math>\ f(x)=mf \left(\frac{x}{m} \right)</math>, כלומר <math>\ f \left(\frac{x}{m} \right)=\frac{1}{m}f(x)</math>.
<br /><br />
שילוב שתי התוצאות לעיל נותן לנו כי לכל מספר רציונלי <math>\ \frac{m}{n}</math> מתקיים <math>\ f \left(\frac{m}{n}x \right) = \frac{m}{n}f(x)</math>. נציב x=1 ונקבל <math>\ f \left(\frac{m}{n} \right) = c \frac{m}{n}</math> לכל <math>\ \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\ c=f(1)</math>.
שורה 27 ⟵ 29:
==מאפיינים של פתרונות אחרים==
 
נראה כעת כי כל פתרון אחר למשוואה מעל הממשיים הוא פתולוגי ביותר. ספציפית, נראה כי עבור כל פתרון אחר למשוואה, מקיים שהגרףהגרף שלו (כלומר, קבוצת הזוגות הסדורים <math>(x,f(x)) \in \mathbb{R}^2</math>) הוא [[קבוצה צפופה]] ב- <math>\mathbb{R}^2</math> כלומר,: כל עיגול במישור, לא משנה כמהאפילו קטן ביותר, מכיל נקודה של הגרף. מכאן ברור כיכל תנאיםפתרון נוספיםשבו עלהגרף הפונקציה,אינו כשםצפוף מונוטוניות(כגון, יפסלואם אתהפונקציה קיומםמקיימת שלאחד מן התנאים הנוספים שהוזכרו לעיל), מוכרח פתרונותלהיות כאלוליניארי.
 
נניח, ללאעל-ידי הגבלתהכפלת הכלליותהפתרון בקבוע, כי <math>\ c=1</math>, כלומר שמתקיים <math>\ f(q)=q</math> לכל <math>\ q \in \mathbb{Q}</math> ונניח כי קייםשקיים <math>\ \alpha \in \mathbb{R}</math> אשר עבורו <math>\ f(\alpha) \ne \alpha</math>.
 
נסמן <math>\ \delta = f(\alpha) - \alpha</math> (כך ש- <math>\ \delta \neq 0</math>). כעת נראה איך למצוא נקודה השייכת לגרף הפונקציה במעגל שרירותי, אשר מרכזו <math>\ (x,y)</math> ורדיוסו <math>\ r</math>, כאשר <math>\ x,y,r \in \mathbb{Q}, r > 0 , x \ne y</math>. כל מעגל במישור מכיל מעגל שכזה.▼
יהי <math>\delta \in \mathbb{R}</math> שונה מאפס כך ש- <math>\ f(\alpha) = \alpha + \delta</math>.
 
כמונסמן <math>\ \beta = \frac {y-כן,x}{\delta}</math> נבחרונבחר מספר רציונלי a<math>\ b \ne 0</math>, שקרובקרוב מספיק ל- <math>\alphabeta</math>, כך שיתקיים <math>\ |\alphabeta - ab| < \frac {r}{2 |b\delta|}</math>.▼
▲כעת נראה איך למצוא נקודה השייכת לגרף הפונקציה במעגל שרירותי, אשר מרכזו <math>(x,y)</math> ורדיוסו <math>r</math>, כאשר <math>\ x,y,r \in \mathbb{Q}, r > 0 , x \ne y</math>.
 
נסמן <math>\beta = \frac {yכמו-x}{\delta}</math>כן, ונבחרנבחר מספר רציונלי <math>\ b \ne 0</math>a, שקרובקרוב מספיק ל- <math>\betaalpha</math>, כך שיתקיים <math>\ |\betaalpha - ba| < \frac {r}{2 |\deltab|}</math>.
 
נסמן <math>\ X = x + b(\alpha - a)</math> וכן ו-<math>\ Y = f(X)</math> וכעת, תוך שימוש במש'במשוואה הפונקציונלית, נקבל כי:▼
▲כמו-כן, נבחר מספר רציונלי a שקרוב מספיק ל- <math>\alpha</math> כך שיתקיים <math>\ |\alpha - a| < \frac {r}{2 |b|}</math>.
 
▲נסמן <math>\ X = x + b(\alpha - a)</math> וכן <math>\ Y = f(X)</math> וכעת, תוך שימוש במש' הפונקציונלית, נקבל כי:
 
<div style="direction: ltr;">
שורה 53:
==קיום של פתרונות אחרים==
 
נתאר כעת את כל הפונקציות המקיימות את המשוואה. "רובן" הן בבירור לא מהצורה הפשוטה <math>\ f(x) = cx</math>. כידוע, <math>\mathbb{R}</math> ו- <math>\mathbb{Q}</math> הם [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] ו- <math>\mathbb{Q}</math> הוא תת-שדה של <math>\mathbb{R}</math>. על כן, ניתן להסתכל על <math>\mathbb{R}</math> ככעל [[מרחב וקטורי]] מעל <math>\mathbb{Q}</math>. יהי <math>\ B</math> בסיס המל למרחב וקטורי זה. (עצם קיומו נובע מאקסיומת הבחירה)
 
ראינו לעיל שכל פתרון f מקיים את תנאי ההומוגניות <math>\ f(mx)=mf(x)</math> לכל סקלר רציונלי m ולכל מספר ממשי x. אם כך, f היא העתקה ליניארית מן המרחב הוקטורי <math>\mathbb{R}</math> אל עצמו. מצד שני, כל העתקה ליניארית מקיימת את תנאי האדיטיביות, המגדיר את f. מכאן שאוסף הפתרונות למשוואה הפונקציונלית כולל את כל ההעתקות הליניאריות, ותו לא.
נגדיר פונקציה f באופן שרירותי על B ונרחיב אותה לכל <math>\mathbb{R}</math> באופן הבא: אם <math>x = \sum q_{i}b_{i}</math>, כאשר <math>q_i \in \mathbb{Q}, b_i \in B</math>, אז נגדיר <math>f(x) := \sum q_{i}f(b_i)</math>. מ[[אלגברה לינארית]], ידוע כי הצגה כזו של <math>x</math> היא יחידה ולכן f מוגדרת היטב.
 
יהי <math>\ B</math> [[בסיס המל]] למרחב וקטורי זה. כל העתקה ליניארית מוגדרת על-פי הערכים שנבחר לה, שרירותית, על אברי B.
בנוסף, f מקיימת את המשוואה הפונקציונלית של קושי, כיוון שאם <math>x = \sum q_{i}b_{i}</math> ו- <math>y = \sum r_{i}b_{i}</math>, עבור <math>q_i, r_i \in \mathbb{Q}</math> כלשהם, אז <math>x + y = \sum (q_{i} + r_{i})b_i</math> ולכן
 
<div style="direction: ltr;">
<math>\ f(x+y) = \sum (q_{i} + r_{i})f(b_i) = \sum q_{i}b_{i} + \sum r_{i}b_{i} = f(x) + f(y)</math>
</div>
 
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/המשוואה_הפונקציונלית_של_קושי"