הלמה של צורן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפת הדף עם 'מה זה כל הנוסחאות האלה אני לא מבין כלום, תכתבו דברים יותר קליטים' |
ביטול גרסה 4429959 של 80.230.162.113 (שיחה) |
||
שורה 1:
'''הלמה של צורן''' (Zorn's lemma) ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[תורת הקבוצות]], היא משפט שימושי העוסק בתכונה של [[סדר חלקי|קבוצות סדורות חלקית]]. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול ל[[אקסיומת הבחירה]], ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכחת העובדה שלכל [[מרחב וקטורי]] יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]], להוכחת העובדה שלכל [[חוג (אלגברה)|חוג]] יש [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] מקסימלי, להוכחת [[משפט טיכונוף]] ב[[טופולוגיה]], להוכחת גרסה אינסופית של [[משפט החתונה]] ב[[קומבינטוריקה]], ושימושים רבים נוספים.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי [[מקס צורן]].
==ניסוח פורמלי==
תהא <math>\!\, (P,\le)</math> קבוצה [[יחס סדר|סדורה חלקית]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]]. אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל<math>\!\, (P,\le)</math> שהצמצום של יחס הסדר אליה הוא [[יחס סדר לינארי]]) יש [[חסם מלעיל]], אז לקבוצה יש לפחות איבר מקסימלי אחד.
==דוגמה לשימוש בלמה של צורן==
נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג קיים [[אידאל מקסימלי]]. יהי ''R'' חוג השונה מחוג ה''0'', ותהי ''P'' קבוצת כל האידאלים ב''R'' השונים מהחוג כולו, סדורה על ידי יחס ההכלה. ''P'' בבירור אינה ריקה,, שכן הקבוצה הריקה שייכת ל''P''. נניח כי נתונה שרשרת עולה <math>\,a_1 \subseteq a_2 \subseteq \dots \subseteq a_n \subseteq \dots</math> של אידאלים ב''R''. יהי <math>\,a=\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i</math>. בבירור מתקיים <math>\,a_i\subseteq a</math> לכל ''i''. כאיחוד עולה של אידאלים, ''a'' הוא אידאל ב''R''. יתר על כן, מכיוון שלכל ''i'' מתקיים ש <math>\,1 \notin a_i</math>, הרי ש <math>\,1\notin a</math>, ולכן <math>\,a\ne R</math>, ולכן <math>\,a\in P</math>. קיבלנו ש''a'' הוא חסם מלעיל לשרשרת הנתונה, ולכן תנאיי הלמה של צורן מתקיימים. לפיכך יש ל''P'' לפחות איבר מקסימלי אחד ''m'', ולכן ''m'' הוא אידאל מקסימלי ב''R''.
== קישורים חיצוניים ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ZornsLemma.html הלמה של צורן + 2 בדיחות קרש], אתר Mathworld
{{תורת הקבוצות}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
<!--Interlanguage links-->
{{נ}}
[[en:Zorn's lemma]]
[[de:Lemma von Zorn]]
[[es:Lema de Zorn]]
[[fi:Zornin lemma]]
[[fr:Lemme de Zorn]]
[[hu:Zorn-lemma]]
[[it:Lemma di Zorn]]
[[ja:ツォルンの補題]]
[[ka:ცორნის ლემა]]
[[ko:초른의 보조정리]]
[[pl:Lemat Kuratowskiego-Zorna]]
[[pt:Lema de Zorn]]
[[ro:Lema lui Zorn]]
[[sl:Zornova lema]]
[[sv:Zorns lemma]]
[[tr:Zorn Lemma]]
[[zh:佐恩引理]]
| |||