משפט פרמה (לנקודות קיצון) – הבדלי גרסאות

נוכיח במקרה שבו <math>\ x_0</math> היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה למקרה השני דומה.

מאחר ש-<math>\ x_0</math> נקודת מקסימום מקומי, הרי שלכלשקיימת [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] <math>\ U=(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> המוכלת כולה בקטע <math>x\isin (a,b)</math>, כך שלכל <math>x\isin U</math> מתקיים <math>f(x)\le f(x_0)</math>. מכאן כי עבור כל <math>\ \Delta x</math> שעבורו <math>x_0+\Delta x\isin (a,b)U</math> מתקיים <math>f(x_0+\Delta x)\le f(x_0)</math>.

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה <math>\ x_0</math> הרי שמתקיים <math>f'_-\left(x_0\right)=f'_+(x_0)</math> ולכן בהכרח <math>f'\left(x_0\right)=0</math>.