משפט פרמה (לנקודות קיצון)

שיטה למציאת האם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ואותה הנקודה היא נקודת קיצון של הפונקציה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה של פייר דה פרמה לפיו אם פונקציה גזירה, אז ערך הנגזרת בנקודת קיצון מקומית שווה לאפס. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. יש לשים לב כי ההפך לא תמיד נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.

ניסוח המשפטעריכה

תהי   פונקציה המוגדרת בקטע   ותהי   נקודת קיצון מקומית בה הפונקציה גזירה, אז  .

הוכחהעריכה

 
דוגמה: נקודת המקסימום של של הפונקציה   היא   המשיק לה הוא   כשהשיפוע שווה לערך הנגזרת הוא  

נוכיח במקרה שבו   היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה לנקודות מינימום דומה.

מאחר ש-  נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה   המוכלת כולה בקטע  , כך שלכל   מתקיים  . מכאן כי עבור כל   שעבורו   מתקיים  .

כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה  :

 

זאת כי המונה תמיד שלילי או אפס, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה לאפס היא מצד ימין.

לעומת זאת:

 

כי הפעם המכנה שלילי תמיד.

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה   הרי שמתקיים   ולכן בהכרח  .

הכללה למקרה מרובה המשתניםעריכה

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים  . אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.

קישורים חיצונייםעריכה