משפט קיילי – הבדלי גרסאות

לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>. ההוכחה מבוססת על [[פעולת חבורה|פעולה נאמנה]] הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו [[#הוכחה|לעיל]]). למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם ה'''עידון של משפט קיילי''': אם ל- <math>\ G</math> יש תת-חבורה <math>\ H</math> מאינדקס <math>\ n</math>, אז יש העתקה <math>\ G\rightarrow S_n</math> שה[[גרעין של הומומורפיזם|גרעין]] שלה מוכל ב- <math>\ H</math>. נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס <math>\ n</math> מוכרחה להיות [[תת חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק את <math>\ n!</math>. בפרט: ל[[חבורה פשוטה]] מסדר שאינו מחלק את <math>\ n!</math>, אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-<math>\ n</math>. את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של G על אוסף המחלקות <math>\ G/H</math> (גם כאשר אוסף זה אינו [[חבורת מנה]]), על- ידי כפל משמאל: <math>\ g : xH \mapsto gxH</math>. הפעולה הזו אינה בהכרח נאמנה; אוסף האיברים הפועלים פעולה טריוויאלית שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל- H.

תהא <math>\ G</math> חבורה סופית מסדר <math>\ n</math>. יש לבנות הומומורפיזם מ- G אל החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>. לשם כך, מספיק להתאים לכל איבר של G תמורה על האיברים של G עצמה (אפשר לזהות את התמורות על G עם התמורות על כל קבוצה אחרת באותו גודל, על- ידי התאמה של האיברים זה לזה). במלים אחרות, יש לבנות פונקציה <math>\ \phi : G \rightarrow S_G</math>, כאשר <math> \S_G</math> היא אוסף התמורות על G. את התמורה <math>\ \phi(g) : G \rightarrow G</math> מגדירים לפי כפל משמאל: <math>\ (\phi(g))(x) = gx</math>. זוהי תמורה, משום שאם <math>\ gx=gy</math>, אז <math>\ x=y</math> (שהרי G חבורה, וכל איבריה הפיכים). בנוסף לזה, פעולת <math>\ \phi(gh)</math> על איבר x שווה ל- <math>\ (\phi(gh))(x) = (gh)x</math>, וזה שווה ל-