תת-חבורה נורמלית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''תת חבורה נורמלית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת חבורה|תת חבורה]] הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור [[חבורת מנה]], וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: תת-החבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת [[הרחבה של חבורות]].
==הגדרה
תהא <math>\!\, G </math> חבורה ותהא <math>\!\, N\leq G </math> תת חבורה שלה. לכל איבר <math>\!\, g\isin G </math>, הקבוצה <math>\!\, g^{-1}Ng=\left\{g^{-1}xg|x\isin N\right\} </math> היא ה"הצמדה" של N על-ידי g. אם לכל איבר g מתקיים
<math>\!\, g^{-1}Ng \subseteq N </math>, אז <math>\!\, N </math> היא '''תת חבורה נורמלית''' של <math>\!\, G </math>. מסמנים תכונה זו כך: <math>N\triangleleft G</math>.
=== הגדרה
מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה [[קומוטטיבי|קומוטטיבית]] כל תת חבורה היא נורמלית, כי לכל <math>\!\, g\isin G </math> ולכל <math>\!\, n\isin N </math> מתקיים <math>\!\, ng=gn </math>.
==
בהינתן חבורה <math>\!\, G </math> ותת חבורה <math>\!\, N\subseteq G </math>, [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\!\, G/N </math> מוגדרת היטב אם ורק אם <math>N\triangleleft G</math>.
ניתן להראות כי גרעין של [[הומומורפיזם (בתורת החבורות)|הומומורפיזם]] שתחומו <math>\!\, G </math> הוא תמיד תת חבורה נורמלית של <math>\!\, G </math>. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת חבורה נורמלית של <math>\!\, G </math> היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו <math>\!\, G </math>.
== הליבה של חבורה ==
אם <math>\ H \leq G</math> תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), '''הליבה''' של H מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: <math>\ \operatorname{Core}_G(H) = \cap_{g \in G} g H g^{-1}</math>. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- H (ראו גם [[משפט קיילי#העידון של משפט קיילי|העידון של משפט קיילי]]). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד g מכל קוסט ימני של H, אם H תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.
==חבורות פשוטות==
שורה 26 ⟵ 30:
לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם A תת-חבורה נורמלית של B ו- B נורמלית (ואפילו אופיינית) של C, אז A עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של C. לעומת זאת, אם A אופיינית ב- B, אז התכונות של B עוברות בירושה ל- A: אם B נורמלית ב- C אז כך גם A, ואם B אופיינית ב- C אז כך גם A.
== תת-חבורות תת-נורמליות ==
אם קיימת שרשרת של תת-חבורות <math>\ G_t \leq \cdots \leq G_1 \leq G</math> כך שכל <math>\ G_{i+1} \triangleleft G_i</math>, אז אומרים ש- <math>\ G_t</math> תת-חבורה '''תת-נורמלית''' של G. לדוגמא, כל תת-חבורה מאינדקס <math>\ p^n</math>, כאשר p ראשוני, היא תת-נורמלית.
==דוגמאות==
#<math>\ A_n</math> [[תת חבורה נורמלית]] של <math>\ S_n</math>, כאשר <math>\ S_n</math> היא חבורת [[תמורה (מתמטיקה)|התמורות]] מסדר <math>\ n</math> ואילו <math>\ A_n</math> היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר <math>\ n</math>.
# עבור <math>\ n\ge 5</math> אין ל-<math>\ S_n</math> תת חבורות נורמליות פרט ל-<math>\ A_n</math>.
==ראו גם==
| |||