אינטגרל גאוסיאני – הבדלי גרסאות

<math>\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2 - 4ac}{4a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp{\left(\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)}, \quad a > 0 </math>

# מחשבים את <math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx</math>

# מחשבים את <math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,dx</math> באמצעות [[החלפת משתנים]].

# מחשבים את <math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2 - bx - c}\, dx</math> באמצעות [[השלמה לריבוע]].

כדי לחשב <math>I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx</math> נכפול את <math>\ I</math> באותו אינטגרל:

: <math> I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}\,dy </math>

: <math>\ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\,dxdy</math>

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: <math>\ y^2 = a x^2 \ , \ y = \sqrt{a} x \ , \ dx = \frac{dy}{\sqrt{a}}</math> ואז <math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}\,dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, dy = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math>

: <math>\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\, dx </math>

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר הוא האינטגרדהאינטגרנד נכפל ב[[חזקה]] של <math>\ x</math>,