הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כדלהלן:
הוכחת הנוסחה
עריכה
את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:
- מחשבים את
- מחשבים את באמצעות החלפת משתנים.
- מחשבים את באמצעות השלמה לריבוע.
קודם נראה שהאינטגרל מתכנס:
שנית, נציב , נכפול את באותו אינטגרל:
.
מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש
.
נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור . נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות
כאשר
ו- היא הזווית בין לציר ה- .
את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה , ומקבלים ש- .
את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים ש-
.
כעת נשים לב ש- , ולכן , ולכן .
לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים
או לסיכום:
מבצעים את החלפת המשתנים הבאה:
ואז:
ההשלמה לריבוע:
-
האינטגרציה על הריבוע נותנת ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.
הערות נוספות
עריכה
יש לציין שהפונקציה עליה מחושב האינטגרל היא פונקציה זוגית ולכן
-
ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של ,
-