פתיחת התפריט הראשי

אינטגרל גאוסיאני

אינטגרל גאוסיאני הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:

והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל
וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר שמופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, אוסצילטור הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא אמיתי). האינטגרל קרוי על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס.

גאוסיאן במשתנה אחדעריכה

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:

 

הוכחת הנוסחהעריכה

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

  1. מחשבים את  
  2. מחשבים את   באמצעות החלפת משתנים.
  3. מחשבים את   באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1עריכה

כדי לחשב  , נכפול את   באותו אינטגרל:  .

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש  . נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור  . נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות   כאשר   ו-  היא הזווית בין   לציר ה- .

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה  , ומקבלים ש- .

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים ש-

 
. כעת נשים לב ש- , ולכן  , ולכן  .

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים   או לסיכום:

 

שלב 2עריכה

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה:   ואז  

שלב 3עריכה

ההשלמה לריבוע:

 

האינטגרציה על הריבוע נותנת   ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספותעריכה

יש לציין שהפונקציה עליה מחושב האינטגרל היא פונקציה זוגית ולכן

 

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של  ,

 

אינטגרל גאוסיאני במספר משתניםעריכה

אינטגרל של n משתנים בתבנית ביליניארית:

 

כאשר A היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומהעריכה

כאשר המקדם של   הוא   עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:

  •  
  •  

קישורים חיצונייםעריכה