אינטגרל גאוסיאני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מ ←שלב 1: סדר וניקיון |
||
שורה 21:
==== שלב 1 ====
כדי לחשב <math>I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx</math>, נכפול את <math>\ I</math> באותו אינטגרל:
מחוקי אינטגרל כפול ([[משפט פוביני]]) וכפל [[אקספוננט]]ים מקבלים ש
נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור <math>\ x-y</math>. נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה ב[[קואורדינטות קוטביות]] <math>\ r, \phi</math>
כאשר <math>\ r^2 = x^2 + y^2</math>
ו-<math>\ \phi</math> היא הזווית בין <math>\ r</math> לציר ה-<math>\ x</math>.
את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות ה[[יעקוביאן]] של הטרנספורמציה <math>\ dxdy = r dr d \phi</math>, ומקבלים ש-<math>\ I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} e^{-r^2} r dr d \phi</math>.
2 \pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = \pi \int_{0}^{\infty}e^{-r^2} 2r dr </math>.▼
▲2 \pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = \pi \int_{0}^{\infty}e^{-r^2} 2r dr </math>
לוקחים [[שורש ריבועי]] חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים <math>\ I = \sqrt{\pi}</math>▼
או לסיכום:▼
▲לוקחים [[שורש ריבועי]] חיובי (כי האינטגרנד חיובי) ומקבלים <math>\ I = \sqrt{\pi}</math>
▲או לסיכום
<div style="text-align: center;">
<math>I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>
| |||