אלגברת סי כוכב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט משנה: fr:C*-algèbre |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 10:
לאלגבראות סי-כוכב חשיבות רבה ב[[מכניקת הקוואנטים]]. על פי [[משפט גלפנד-נאימרק]], כל אלגברת סי-כוכב איזומורפית לתת אלגברה של אלגברת האופרטורים החסומים על [[מרחב הילברט]].
==
* אלגברת האופרטורים הלינארים החסומים מעל [[מרחב הילברט]] עם לקיחת [[צמוד הרמיטי]] היא אלגברת סי כוכב.
* אוסף כל ה[[אופרטור קומפקטי|אופרטורים הקומפקטים]] על מרחב הילברט הוא אלגברת סי כוכב. זוהי תת-אלגברה של אלגברת האופרטורים הלינארים החסומים.
==איברים הפיכים וספקטרום של איבר==
כמו בכל אלגברת בנך, לכל איבר באלגברת סי-כוכב (עם יחידה) אפשר להגדיר '''[[ספקטרום (מתמטיקה)|ספקטרום]]''' שהוא קבוצה קומפקטית לא-ריקה של מספרים מרוכבים, המכלילה את קבוצת ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] מן התאוריה של טרנספורמציות לינאריות מממד סופי. הספקטרום של ''a'' (המסומן ב <math>\,\sigma(a)</math>) שווה, על-פי ההגדרה, לאוסף המספרים המרוכבים <math>\,\lambda</math> כך שהאיבר <math>a-\lambda \cdot 1</math> אינו [[איבר הפיך|הפיך]] באלגברה.
==אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות וטופולוגיה לא קומוטטיבית==
נניח כי ''X'' הוא [[מרחב טופולוגי]] שהוא [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]] וקומפקטי באופן מקומי (כלומר לכל נקודה יש [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] [[קומפקטיות|קומפקטית]]). נניח כי ''f'' היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] על ''X'' המקבלת ערכים [[מספר מרוכב|מרוכבים]], כלומר <math>\,f:X\rightarrow\mathbb{C}</math>. נאמר ש''f'' "מתאפסת באינסוף" אם לכל <math>\,\epsilon>0</math> קיימת קבוצה קומפקטית <math>K\subseteq X</math> כך שלכל <math>x \in X-K</math> מתקיים <math>\,|f(x)|<\epsilon</math>.
שורה 27 ⟵ 24:
משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ''A'' קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי ''X'' כך ש<math>\,A \cong C_0(X)</math>. נוסף על כך ניתן להוכיח שאם ''X'' ו''Y'' הם שני מרחבים טופולוגים אז ''X'' [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל''Y'' אם ורק אם האלגברה <math>\,C_0(X)</math> איזומורפית לאלגברה <math>\,C_0(Y)</math>. מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגים לא קומוטטיביים.
חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. ראוי לציין כי לעתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, [[תורת K]] של מרחבים טופולוגים נותנת אינווריאנטה אלגברית (ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] <math>\,K_0(X)</math> ו-<math>\,K_1(X)</math>) למרחבים טופולוגים על ידי שקילויות בין [[אגד וקטורי|אגדים וקטורים]] (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-''K'' לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת <math>\,K_0</math>) או של איברים אוניטרים (במקרה של חבורת <math>\,K_1</math>) באלגבראות סי כוכב. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא '''הטלה''' אם הוא מקיים <math>\,a=a^2=a^*</math>. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא ''אוניטרי'' אם הוא מקיים <math>\,aa^* = a^*a = 1</math>.
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
| |||