חבורה אבלית נוצרת סופית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: דוגמה; |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
==מבוא==
'''[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]''' היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] איברים עם [[פעולה בינארית]] המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון [[החבורה הסימטרית]] <math>\ S_n</math>, [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או החבורה של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבלית, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את האקסיומה <math>\ ab = ba</math>; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית). ▼
▲'''[[חבורה]]''' היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] איברים עם [[פעולה בינארית]] המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון [[החבורה הסימטרית]] <math>\ S_n</math>, [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או החבורה של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבלית, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את האקסיומה <math>\ ab = ba</math>; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).
אחד מהתחומים בהם עוסקת ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]] הוא סיווג של כל החבורות הקיימות על פי תכונותיהן. '''משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית''' מספק סיווג שכזה עבור החבורות האבליות שיש להן [[קבוצה סופית|תת-קבוצה סופית]] של איברים, שממנה אפשר ליצור, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה.
| |||