העתקת מביוס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 10:
במקרה שבו <math> \ c = 0 </math> הפונקציה היא פשוט לינארית ומוגדרת על כל <math> \widehat \mathbb{C}</math> כאשר <math> \ T(\infty)=\infty</math>.
* הרכבה של טרנספורמציות מביוס היא גם טרנספורמציית מביוס, ולכן טרנספורמציות מביוס מהוות [[חבורה (
* כל טרנספורמציות מביוס היא [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]], ולכן [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]], כלומר שומרת זוויות.
שורה 21:
==טרנספורמציות מביוס כמטריצות==
אם נרכיב את הטרנספורמציה <math>T_1(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> עם הטרנספורמציה <math>T_2(z)=\frac{a'z+b'}{c'z+d'}</math>, תתקבל הטרנספורמציה
<math>T_3(z)=T_1 \circ T_2=\frac{(a'a+bd')z+(b'a+d'b)}{(a'c+c'd)z+(b'c+d'd)}</math>.
שורה 40 ⟵ 39:
נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את הטרנסמפורמציה - <math>\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}</math>. בנוסף, הדרישה <math> \ ad-bc \ne 0</math> היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות טרנספורמציות עם [[טרנספורמציה לינארית|טרנספורמציות לינאריות]] מ <math>\mathbb{C}^2</math> ל <math>\mathbb{C}^2</math>, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, <math>\ \mbox{Aut}(\widehat\mathbb C) \cong \operatorname{PGL}_2(\mathbb{C})</math>, (כאשר
<math>\ \operatorname{PGL_2}</math> היא [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] ההפיכות, [[חבורת מנה|מודולו]] המטריצות הסקלריות).
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
| |||