|
ב[[אלגברה ליניארית]], '''אופרטור אוניטרי''' הוא [[אופרטור ליניארי]] של [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים]], המקיים את התנאי <math>\ U U ^* = U^* U = 1</math>, כאשר <math>\ U^*</math> הוא ה[[אופרטור הרמיטי|צמוד ההרמיטי]] של U. באופן דומה, [[מטריצה ריבועית]] מרוכבת A היא אוניטרית אם <math>\ AA^*=I</math>, כאשר <math>\ A^*</math> הוא [[הצמוד המרוכב]] של [[המטריצה המוחלפת]] <math>\ A^t</math> (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור <math>\ \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n</math>, ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הוקטורים).
'''יוניטריות''' (או: '''אוניטריות''') היא תכונה של [[אופרטור הרמיטי|אופרטור מרוכב]] (או [[מטריצה]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים]]).
ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של ה[[דטרמיננטה]] של מטריצה אוניטרית כזאת הוא 1. מטריצה אוניטרית שהדטרמיננטה שלה שווה ל 1 נקראת "מיוחדת".
== הגדרה פורמלית ==
מטריצה ממשית אוניטרית היא '''[[מטריצה אורתוגונלית]]'''; העמודות של מטריצה כזו מהוות [[בסיס אורתונורמלי]], וכן גם השורות שלה.
אופרטור (או מטריצה) U מעל <math>\mathbb{C}</math> שפועל ב[[מרחב הילברט]] מרוכב, נקרא '''יוניטרי''' אם
: <math>\ U^{-1} = U^{\dagger}</math>
כאשר:
* <math>\ U^{-1}</math> הוא ה[[מטריצה הפיכה|אופרטור ההופכי]] ( <math>\ U U^{-1} = U^{-1} U = Id</math> ).
* <math>\ U^{\dagger}</math> הוא [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] של U.
אז גם מתקיים ש
: <math>\ U U^\dagger = U^\dagger U = Id</math>
כלומר, מכפלת ([[הרכבת פונקציות|הרכבת]]) האופרטור בצמוד ההרמיטי שלו שווה לאופרטור הזהות.
מעל ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] מטריצה יוניטרית נקראת '''[[מטריצה אורתוגונלית]]''' ומתקיים שהן עמודותיה והן שורותיה מהוות [[בסיס אורתונורמלי]]. הערך המוחלט של [[דטרמיננטה]] של מטריצה כזאת הוא 1.
מטריצה יוניטרית שהדטרמיננטה שלה שווה ל 1 נקראת "מיוחדת".
== תכונות ==
* <math>\ U U^\dagger = U^\dagger U = Id</math>
* אם A [[אופרטור הרמיטי]] אזי <math>\ U = \exp{(iA)}</math> הוא אופרטור יוניטריאוניטרי. גם ההפך נכון.
* בפרט, אופרטור יוניטריאוניטרי שומר [[ נורמהמכפלה (מתמטיקה)|נורמהפנימית]] מרוכבת: <math>\ \| Ux \| ^2 = \lang Ux , UxUy \rang = \lang x , xy \rang = \| x \|^2</math> .▼* הערך המוחלט של ה[[דטרמיננטה]] של U הוא 1.
* בפרט, אופרטור יוניטריאוניטרי שומר [[מכפלהנורמה פנימית(מתמטיקה)|נורמה]] מרוכבת: <math>\ \| Ux \| ^2 = \lang Ux , UyUx \rang = \lang x , yx \rang = \| x \|^2</math>.
▲* בפרט, אופרטור יוניטרי שומר [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]]: <math>\ \| Ux \| ^2 = \lang Ux , Ux \rang = \lang x , x \rang = \| x \|^2</math>
* כאשר מדובר ב[[מטריצה]]: שורותיה (עמודותיה) מהוות [[בסיס אורתונורמלי]].
* האופרטור האוניטרי מעביר [[בסיס אורתונורמלי]] לבסיס אורתונורמלי אחר. כלומר, אם הקבוצה <math> \ \{v_1, ..., v_n\}</math> מהווה בסיס אורתונורמלי, אזי גם<math> \ \{U v _1, ..., U v_n\}</math> מהוה בסיס אורתונורמלי.
== משמעות ==
מטריצה יוניטריתאוניטרית היא מטריצה ש'''שומרת גודל''', כלומר: היא אינה מאריכה או מקצרת את אורכו של וקטור, אלא רק מסובבת או משקפת אותו. באופן יותר פורמלי, מטריצה יוניטריתאוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]] וכן [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]], הווה אומר: <math>\ \| U x \| = \| x \|</math>.
ב[[מכניקת הקוונטים]] אופרטור יוניטריאוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.
ב[[תורת החבורות]] ובייחוד ב[[פיזיקה]], יש משמעות רבה לחקר ה[[סימטריה|סימטריות]] במרחב. סוג מסוים של סימטריות הן סימטריות ביחס לסיבובים במרחב וכן סימטריות ביחס לשיקופים. [[סיבוב|סיבובים]] ו[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] מיוצגים על ידי מטריצות יוניטריותאוניטריות. אפשר להראות שמרחב כל המטריצות היוניטריות בעלות דטרמיננטה 1 מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] n מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] ביחס לפעולת [[כפל מטריצות]]. חבורה זו נקראת <math>\ SU(n)</math> או "חבורת המטריצות היוניטריותהאוניטריות המיוחדות מסדר n". לחבורות אלה יש חשיבות רבה ב[[תורת שדות]] וב[[מודל הסטנדרטי]]. ה[[פיזיקאי|פיזיקאים]] [[יובל נאמן]] ו[[מארי גל-מן]] הראו שאפשר למיין את ה[[חלקיקים האלמנטריים]] לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה <math>\ SU(3)</math>.
== ראו גם ==
| 