מטריצות פאולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) |
עריכה והגהה |
||
שורה 1:
'''מטריצות פאולי''' הן שלוש [[מטריצה|מטריצות]] [[מספר מרוכב|מרוכבות]] המסייעות לייצג [[טרנספורמציית סיבוב|טרנספורמציות סיבוב]] במרחב מ[[ממד (פיזיקה)|ממד]] [[מספר זוגי|זוגי]]. למטריצות אלו חשיבות רבה ב[[פיזיקה]] בכלל,
המטריצות הן מסדר <math> 2 \times 2 </math>, כדלהלן:
:<math>
שורה 24 ⟵ 26:
\end{pmatrix}
</math>
▲למטריצות אלו חשיבות רבה ב[[פיזיקה]],ובפרט ב[[מכניקת הקוונטים|תורת הקוונטים]]. בין היתר ניתן לייצג בעזרתן את אופרטור ה[[ספין]], אופרטור ה[[בורגיות]] ([[הליסיטי]]) ובעזרתן ניתן לכתוב את [[משוואת דיראק]] במרחב ה[[ספינור]] ה4 ממדי.
לדוגמה, [[אופרטור]] ה[[ספין]] במרחב ה[[מצב עצמי|מצבים העצמיים]] של ספין 1/2 ניתן לכתיבה כ:
:<math> \vec{S} = \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right) </math>
שורה 35 ⟵ 33:
==תכונות מטריצות פאולי==
* מטריצות פאולי הן מטריצות [[אופרטור הרמיטי|הרמיטיות]], [[אופרטור אוניטרי|אוניטריות]],
::<math> \sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i</math>
::<math>\ \operatorname{Tr}(\sigma_i)=0</math>
שורה 46 ⟵ 43:
* למטריצות פאולי [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] 1+ ו 1- .
*
* כפל מטריצות:
שורה 60 ⟵ 57:
\end{matrix}</math>
* את הזהויות לעיל אפשר לסכם
:: <math>\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,</math>.
: כאשר <math>\delta_{ij}</math> הוא [[דלתא של קרונקר]] ו <math>\varepsilon_{ijk}</math> הוא [[טנזור לוי-צ'יויטה]].
שורה 74 ⟵ 71:
למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:
* עבור ספין 1/2, האופרטור המתאים לספין בכיוון הציר <math>\ \hat n </math> הוא <math> \ \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} \cdot \hat{n}</math>. בפרט מטריצות פאולי עצמן מתאימות לספין בכיוון הצירים x,y,z. האופרטור המתאר סיבוב של ספין 1/2 בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\ \hat n </math> הוא: <math>e^{-i \frac{\theta}{2}(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{\frac{\theta}{2}} -i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{\frac{\theta}{2}} \,</math>
* מטריצות פאולי משמשות
* ב[[פיזיקה גרעינית]] משתמשים במטריצות פאולי לתיאור טרנספורמציות של חלקיקים בעלי [[איזוספין]] 1/2 (לדוגמה [[נוקליאון|נוקליאונים]]). בתחום זה מטריצות פאולי מסומנות בדרך כלל ב
* מטריצות פאולי הן ה[[יוצר (אלגברה)|יוצרות]] של ה[[הצגה (תורת החבורות)|הצגה]] מ[[ממד (אלגברה)|ממד]] 2 של [[חבורת לי]] <math>\ SU(2)</math>.
| |||