גרף קיילי – הבדלי גרסאות

אפשר להפוך את הגרף ל[[מרחב גאודזי]], אם מתאימים כל קשת <math>\ g \mapsto gs</math> ל[[קטע (מתמטיקה)|קטע היחידה]] <math>\ [0,1]</math> (עם המטריקה הרגילה עליו). באופן הזה, כל גרפי קיילי של חבורה נוצרת סופית G (ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית) הם [[קוואזי-איזומטריה|קוואזי-איזומטריים]] זה לזה, וכך מתקבל העקרון היסודי של [[תורת החבורות הגאומטרית]]: גרף קיילי הוא אינווריאנט קוואזי-איזומטרי של החבורה. לפי '''הלמה של שוורץ-מילנור''', <!-- <math>\v{S}</math>varc-Milnor Lemma --> כל מרחב גאודזי סימטרי די הצורך הוא גרף קיילי, במובן הבא: אם חבורה G פועלת על [[מרחב גאודזי]] X כחבורה של [[איזומטריה|איזומטריות]], באופן שהמרחב אינו גדול מדי (ה[[מרחב מנה (טופולוגיה)|מנה]] <math>\ X/G</math> קומפקטית) ואינו קטן מדי (לכל [[קבוצה קומפקטית]] <math>\ K\subset X</math>, הקבוצה <math>\ \{g\in G: g(K) \cap K \neq \emptyset\}</math> סופית), אז X קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של G (על-ידי ההתאמה <math>\ g \mapsto gx</math>, כאשר <math>\ x\in X</math> נקודה קבועה). לדוגמא, אם M הוא [[יריעת רימן]] [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]] אז כל [[סריג (תורת החבורות)|סריג קו-קומפקטי]] בחבורת האיזומטריות של M (לחילופין, ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של כל יריעת רימן קומפקטית ש-M הוא [[מרחב כיסוי אוניברסלי|מרחב הכיסוי האוניברסלי]] שלה) הוא קוואזי-איזומטרי ל-M.