סדרת פל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 10:
כך מתקבלים המספרים [[0 (מספר)|0]], [[1 (מספר)|1]], [[2 (מספר)|2]], [[5 (מספר)|5]], [[12 (מספר)|12]], [[29 (מספר)|29]], [[70 (מספר)|70]], 169, 408, 985, ....
== תכונות ==
*היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ל[[יחס הכסף]], <math>\ \sqrt{2}+1</math>.▼
תכונתם המעניינת של מספרי פל היא שהביטוי <math>\ 2\cdot P_n^2 + (-1)^n</math> הוא [[מספר ריבועי]], כך שהם פותרים את ערכי y של [[משוואת פל]] <math>\ x^2 - 2y^2 = \pm 1</math>. עבור איברי סדרת פל הפותרים את y, ועבור האיברים המקבילים להם ל-x, היחס ▼
▲
<math>\tfrac{x}{y}</math> שואף לשורש הריבועי של 2.
:<math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>
<math>\tfrac{x}{y}=\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>.
והם מקיימים את אותם תנאים של איברי הסדרה, קרי, היחס ביניהם הוא יחס הכסף, וכל איבר x שווה לפעמיים קודמו ועוד האיבר הקודם לקודמו.
החל מהאיבר הרביעי או החמישי המנה <math>\tfrac{x}{y}</math> שווה בקירוב טוב לשורש הריבועי של שתיים. באיבר התשיעי הקירוב הוא
:<math>\frac{577}{408}=1.4142\approx\sqrt 2</math>
*כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף לינארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי [[סדרה הנדסית|סדרות הנדסיות]]:▼
▲היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ל[[יחס הכסף]], <math>\ \sqrt{2}+1</math>.
▲כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף לינארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי [[סדרה הנדסית|סדרות הנדסיות]]:
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>
==סדרת פל-לוקאס==
| |||