סדרת פל

סדרת פֶּל וסדרת פֶּל-לוקאס הן סדרות של מספרים טבעיים, שהן מקרים פרטיים של סדרת לוקאס. מספר טבעי המשתייך לסדרת פל נקרא מספר פל. מספרי פל מוכרים כבר מן העת העתיקה, והם משמשים בעיקר לחישוב קירובים לשורש הריבועי של 2. סדרת פל, יחד עם משוואת פל, יוחסו בטעות על ידי לאונרד אוילר לג'ון פל.

הגדרת הסדרה

סדרת פל מוגדרת על-פי הנוסחה הרקורסיבית

$P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

כך מתקבלים המספרים 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ....

תכונות

• היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ליחס הכסף, $\ 1+{\sqrt {2}}$.

באיבר התשיעי הקירוב הוא

${\frac {985}{408}}=2.4142\approx {\sqrt {2}}+1$

• האיבר ה-(2n+1) שווה לסכום ריבועי האיברי ה-nי והאיבר ה-(n+1).

$P_{2n+1}=P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}.$

• תכונה מעניינת של מספרי פל היא שהביטוי $\ 2\cdot P_{n}^{2}+(-1)^{n}$ הוא מספר ריבועי, כך שהם פותרים את ערכי y של משוואת פל $\ x^{2}-2y^{2}=\pm 1$. עבור איברי סדרת פל הפותרים את y, ועבור האיברים המקבילים להם ל-x, היחס ${\tfrac {x}{y}}$ שואף לשורש הריבועי של 2.

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots$

ערכי ה-x המתקבלים שווים לסכום של איבר פל המקביל להם ולאיבר פל שלפניו

${\tfrac {x}{y}}={\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$.

והם מקיימים את אותם תנאים של איברי הסדרה, קרי, היחס ביניהם הוא יחס הכסף, וכל איבר x שווה לפעמיים קודמו ועוד האיבר הקודם לקודמו. החל מהאיבר הרביעי או החמישי המנה ${\tfrac {x}{y}}$ שווה בקירוב טוב לשורש הריבועי של שתיים.

• כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות:

$P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}$

• כל מספר פל אי זוגי, למעט הראשון, הוא חלק משלשה פיתגורית:

$2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}.$

כאשר האיבר השלישי בשלשה שווה לאיבר ה-(2n+1):

$P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}.$

שלשות פיתגוריות המושגות בדרך זו הן למשל:

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ...

סדרת פל-לוקאס

סדרת פל לוקאס מוגדרת על ידי אותה נוסחת רקורסיה כמו סדרת פל, אך יש לה תנאי פתיחה שונים: $\ P_{1}=P_{2}=2$, והיא ממשיכה במספרים 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...

קישורים חיצוניים

• סדרת פל, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת מספרי פֶּל באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים