משפט קנטור לרציפות במידה שווה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ משפט קנטור (לרציפות במידה שווה) הועבר למשפט קנטור לרציפות במידה שווה: אפשר גם "משפט קנטור (רציפות במידה שווה)", ללא למד. |
מ בוט החלפות: תת-; |
||
שורה 10:
תהא כעת <math>\ f(x)</math> פונקציה רציפה בקטע הסגור <math>\ [a,b]</math>. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים <math>\ \varepsilon_0</math> כך שעבור כל <math>\ n\isin\mathbb{N}</math> קיימות שתי נקודות <math>\ x_n,y_n\isin[a,b]</math> כך שמתקיים <math>\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0</math>.
נביט כעת בסדרה <math>\ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math>. כל אברי הסדרה שייכים לקטע <math>\ [a,b]</math>, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי [[משפט בולצאנו ויירשטראס]], כל סדרה חסומה מכילה תת
כעת נוכיח כי <math>\ y_{n_k}\rarr x_0</math> - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת
יהא <math>\ \varepsilon>0</math> כלשהו. עלינו למצוא <math>\ K>0</math> כך שלכל <math>\ k>K</math> יתקיים <math>\ |y_{n_k}-x_0|<\varepsilon</math>.
ראשית נשים לב כי מהתכנסות <math>\ x_{n_k}</math> נובע שקיים <math>\ K_1</math> כך שלכל <math>\ k>K_1</math> מתקיים <math>\ |x_{n_k}-x_0|<\frac{\varepsilon}{2}</math>. קיים גם <math>\ N</math> טבעי גדול דיו כך שיתקיים <math>\ \frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math> לכל <math>\ n>N</math>, וקיים <math>\ K_2</math> כך שלכל <math>\ k>K_2</math> מתקיים <math>\ n_k>N</math> (כלומר, החל ממקום מסוים בתת
נבחר <math>\ K=\max\left\{k_1,k_2\right\}</math> ואז לכל <math>\ k>K</math> יתקיים:
| |||