חבורת התמורות הזוגיות – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[תת חבורה]] מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>\ n</math>, מחצית מבין <math>\ n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> הן בעלות [[סימן (תורת החבורות)|סימן]] <math>\ +1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>\ -1</math>. הקבוצה של <math>\ \frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת -חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>\ S_n</math> - חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות <math>\ A_n</math> (Alternating Group). בעקבות המיון של [[מערכת שורשים|מערכות שורשים]], סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].

מן העובדה ש-<math>\ A_n</math> פשוטה נובע שזוהי תת -החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>; עובדה זו נכונה אפילו כאשר <math>\ n<5</math>. אם <math>\ n\geq 5</math> אז אין לחבורה הסימטרית אף תת -חבורה אחרת מאינדקס <math>\ n\geq</math> (זוהי תוצאה של [[העידון של משפט קיילי]]). לעומת זאת, לחבורה <math>\ S_4</math> יש שלוש תת -חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות ל[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מסדר 8.

חבורה זו מספקת את הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר לכיוון ההפוך של [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: אין לה תת -חבורה מסדר 6.