שדה המספרים הניתנים לבנייה – הבדלי גרסאות

 

כדי להראות ש[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]] אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקוביה, משום שהצלע המבוקשת, <math>\ \sqrt[3]{2}</math>, יוצרת שדה ממימד 3. אי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות, משום ש- <math>\ \cos(20^{\circ})</math> הוא שורש של הפולינום האי-פריק <math>8x^3-6x-1</math> (את הזווית של 60 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש- <math>\ \sqrt{\pi}</math> אינה אלגברית. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי <math>\ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>, ו- 6 אינו חזקה של 2.