הבדלים בין גרסאות בדף "הצגה ליניארית"

נוספו 627 בתים ,  לפני 10 שנים
באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math>, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \operatorname{GL}(V)</math> היא חבורת ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math>. במקרה זה n נקרא '''ממד ההצגה'''.
 
מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.
 
כאשראם נתונותקיים שתי הצגות, על מרחבים V ותת- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על ה[[סכום ישר|סכום הישר]]מרחב <math>\ VW \oplussubset WV</math>, בדרךשההצגה שלפועלת בנייתעליו, מטריצות בלוקים:כלומר <math>\ g \mapsto \left (\begin{array}{cc} \pi_1pi(g) & 0(W) \\subseteq 0W</math> &לכל <math>\pi_2( g)\end{array}\right)in G</math>. הצגה כזו, וכלאז הצגה שקולה לה, נקראתההצגה '''הצגה פריקה'''. הצגה שלאשאין ניתןלה לפרק (על ידי הצמדה) באופןתת-מרחב כזה, נקראתהיא '''הצגה אי-פריקה'''. כל ההצגות האי-פריקות של [[חבורה אבלית]] סופית הן חד-ממדיות.
 
כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על ה[[סכום ישר|סכום הישר]] <math>\ V \oplus W</math>, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: <math>\ g \mapsto \left (\begin{array}{cc} \pi_1(g) & 0 \\ 0 & \pi_2(g)\end{array}\right)</math>. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת '''הצגה פרידה'''. הצגה שלא ניתן להפריד (על ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת '''הצגה אי-פרידה'''.
במקרים רבים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה.
 
הצגה אי-פריקה היא בהכרח אי-פרידה. אם אלגברת החבורה [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], אז כל הצגה אי-פרידה היא אי-פריקה, וכל הצגה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. גם במקרים אחרים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה, אלא שהתהליך מסובך בהרבה.
 
== הקרקטר של הצגה מממד סופי ==