ויקיפדיה

חבורת סימטריות מרחבית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{בעבודה}}
ב[[קריסטלוגרפיה]], '''חבורת סימטריות מרחבית''' היא [[חבורת סימטריות|חבורה של סימטריות]] המעתיקות את הנקודות על [[סריג (גאומטריה)|סריג]] כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג. חבורות כאלה מתארות את האופנים שבהם אפשר לסובב, להזיז או לשקף את הסריג, ולכן למבנה שלהן יש קשר הדוק לזה של הסריג שאליו הן מתייחסות. שלא כמו [[חבורת סימטריות נקודתית]], שאיבריה שומרים נקודה של הסריג במקומה, בחבורה מרחבית יש גם העתקות המזיזות את הסריג כולו, ולכן חבורות אלו הןחבורות אינסופיות.
 
לחבורות הסימטריה המרחביות של סריגים [[מרחב דו-ממדי|דו-ממדיים]] ו[[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדיים]] יש תפקיד מכריע בקריסטלוגרפיה ויישומיה, והן נחקרות גם מהיבטים אלגבריים, גם כאובייקטים גאומטריים, וגם כאוספים קונקרטיים של פעולות על סריגים פיזיקליים. חבורות אלה נקראות "מרחביות" כדי לציין את היכולת שלהן להזיז את הסריג במרחב, ולהבדילן מחבורות הסימטריות הנקודתיות. חבורה הפועלות על סריג דו-ממדי נקראת לפעמים '''חבורת סימטריות מישורית'''.
 
== חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של סריג ==
 
על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת בנאמנות]] על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח ל[[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמא, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג <math>\ \mathbb{Z}</math> כוללת את השיקוף ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, או אפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.
 
כל סריג ב[[המרחב האוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\ \mathbb{R}^n</math> הוא אוסף הנקודות <math>\ \Lambda = L \mathbb{Z}^n</math>, כאשר L היא [[מטריצה ריבועית]] ממשית קבועה, כאשר <math>\ \mathbb{Z}^n</math> הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
 
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומ[[הרכבת פונקציות|הרכבות]] של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת [[כפל מטריצות|כפל]] (משמאל) ב[[מטריצה אורתוגונלית]]. החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] <math>\ S_0(\Lambda) = O_n(\mathbb{R}) \cap L\cdot \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})\cdot L^{-1}</math>, שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו [[חבורת סימטריות נקודתית#חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן|חבורת סימטריות נקודתית]]). באותו אופן, העתקה אפינית <math>\ x \mapsto v_0 + A x</math> היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר <math>\ v_0 \in \Lambda</math> ו- <math>\ A \in S_0(\Lambda)</math>. ההעתקות הטהורות <math>\ x \mapsto x+v_0</math> מהוות [[תת-חבורה נורמלית]] של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, ו[[חבורת מנה|חבורת המנה]] היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה). את ה[[מכפלה ישרה למחצה|מכפלה הישרה למחצה]] המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות: <math>\ S(\Lambda) = \left(\begin{array}{cc}{S_0(\Lambda)}& {\Lambda} \\ {0}&{1} \end{array}\right)</math>. כל תת-חבורה של החבורה הזו קרויה "חבורת סימטריות מרחבית" (מממד n).
 
מבחינהכל מתמטית,תת-חבורה חבורתשל סימטריותהחבורה מרחביתהזו היאקרויה חבורה של"חבורת סימטריות שלמרחבית" המרחב(מממד האוקלידי ה-n ממדי, השומרת על נקודות הסריג בתוכו). מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא [[סריג (תורת החבורות)|תת-חבורה דיסקרטית]] של חבורת הסימטריות המתאימה, <math>\ \mathbb{R}^n \cdot O_n(\mathbb{R})</math>. ▼
 
== סריגים תלת-ממדיים ==
 
יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות, המתאימות ל-14 [[סריג בראבה|מחלקות בראבה]], השייכות בתורן לשבע [[מערכת גבישית|מערכות גביש]]. החבורה הנקודתית משאירה נקודה קבועה במקומה, ופועלת בדרך של [[שיקוף]], [[סיבוב]] או [[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של פעולות אלה. החבורהחבורת המרחביתכל הסימטריות של סריג מורכבת, כאמור, מן החבורה הנקודתית, ומסימטריות ההזזה של הסריג; סימטריות אלה אינן תלויות במפורש במבנה המדוייק של הסריג, אלא רק במחלקת בראבה שאליה הסריג שייך. חבורת הסימטריות המרחבית עשויה לכלול גם פעולות משולבות כמו סיבוב בורג, או החלקה שלושיקוף במישור, כפי מישורשיוסבר מלאלהלן. מכל הפעולות האלה אפשר לקבל בדיוק 230 חבורות סימטריה מרחביות שונות.
 
=== מישורי החלקה וציריבמישור סיבובוסיבוב בורג ===
 
כאמור לעיל, חבורת סימטריות מלאה של סריג n ממדי [[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על-ידי n הזזות בצירים שונים של הסריג, ועל-ידי הסיבובים השומרים על נקודת הראשית קבועה. כאשר מדובר בחבורת סימטריה מרחבית הכוללת רק חלק מן הסימטריות של הסריג, לא תמיד אפשר ליצור אותה על-ידי פעולות פשוטות, ויש צורך לאפשר גם פעולות כמו "החלקה במישור" ו"סיבוב בורג", המערבות סיבוב והעתקה.
שתיים מפעולות הסימטריה המופיעות בחבורות מרחביות אינן שייכות לחבורות הנקודתיות או לפעולות ההזזה, אלא הן הרכבות של אלה: מישור החלקה וצירי סיבוב בורג.
 
'''החלקה במישור''' היא שיקוף הסריג ביחס למישור קבוע, ואחריו החלקה במקביל לאותו מישור. מקובל לסמן פעולה כזו ב- ''a'', ''b'' או ''c'', בהתאם לכיוון ההחלקה (אם זהו אחד מן הכיוונים היסודיים של הסריג). לפעמים ההחלקה אינה בווקטור סריג שלם, אלא בחצי-האלכסון של פאה של [[תא יחידה|תא היחידה]] ("החלקת-n") או ברבע האלכסון של פאה של התא ("החלקת-d"). להחלקת-d קוראים גם "החלקת יהלום", משום שהיא מופיעה בסריג של היהלום.
מישור החלקה הוא שיקוף ביחס למישור, ואחריו העתקה במקביל לאותו מישור.
מקובל לסמן פעולה כזו ב- ''a'', ''b'' או ''c'', בהתאם לציר ההחלקה.
יש גם החלקת-n והחלקת-d, שהן החלקה ביחס לחצי האלכסון של פאה של תא היחידה, או רבע האלכסון של פאה של של התא, בהתאמה. להחלקת-d קוראים גם "החלקת יהלום", משום שהיא מופיעה בסריג של היהלום.
 
ציר '''סיבוב בורג''' הוא סיבוב של הסריג ביחס לציר, ואחריו העתקה בכיוון אותו ציר. מסמנים את הפעולה במספר, n, המתאר את הסדר של פעולת הסיבוב (לדוגמא, '3' הוא שליש סיבוב). מידת ההעתקה, ביחידות של וקטור הסריג באותו כיוון, נוספת כאינדקס לסדר הסיבוב.
 
=== סימון ===
 
יש כמה שיטות שונות לסימון חבורות מרחביות. [[האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה]] מפרסם כרך של טבלאות המתארות את כל החבורות המרחביות, ומתאים לכל אחת מהן מספר ייחודי. פרט למספור המקובל הזה, יש שתי שיטות אחרות: [[סימון הרמן-מאגוין]] ו[[סימון שונפלייס]].
 
סימון הרמן-מאגוין (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה מספרים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים ב[[חבורת סימטריה נקודתית|חבורות נקודתיות]], בתוספת האפשרות למישורי החלקה ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמא, החבורה המרחבית של ה[[קווארץ]] היא P3_{1}21, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על-ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקווארץ).▼
 
▲סימון הרמן-מאגוין (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה מספריםתוים ראשיים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים ב[[חבורת סימטריה נקודתית|חבורות נקודתיות]], בתוספת האפשרות למישורילהחלקה החלקהבמישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמא, החבורה המרחבית של ה[[קווארץ]] היא <math>\,P3_{1}21</math>, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על-ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקווארץ).
בשיטת סימון זו, הסימן הראשון (3_1 בדוגמא) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - P3_112, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית 30^o מהם.▼
 
▲בשיטת סימון זו, הסימן הראשון (<math>3_1</math> בדוגמא) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - <math>\,P3_112</math>, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית <math>\,30^o\circ</math> מהם.
== תורת החבורות ==
 
== מיון לטיפוסים קריסטלוגרפיים ==
▲מבחינה מתמטית, חבורת סימטריות מרחבית היא חבורה של סימטריות של המרחב האוקלידי ה-n ממדי, השומרת על נקודות הסריג בתוכו. מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא [[סריג (תורת החבורות)|תת-חבורה דיסקרטית]] של חבורת הסימטריות המתאימה, R^n O_n(R).
 
שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה <math>\,x->Ax+b+Ax</math> עם [[דטרמיננטה]] <math>\ \det(A)=1</math>0). באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן תמודות תחת העתקה אפינית כלשהי. ההבדל הוא שאם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על-ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.
 
בממדים 1 ו-2, אין הבדל בין "טיפוס אפיני" ו"טיפוס קריסלוגרפי", משום שתמונת הראי של סיבוב היא סיבוב בכיוון ההפוך. לעומת זאת, בממד 3, תמונת הראי של החלקת בורג ימנית היא החלקת בורג שמאלית (ואילו הפעולה ההפוכה להחלקת בורג ימנית היא החלקת בורג ימנית בכיוון ההפוך).
 
'''משפט ביברבך''' קובע שבכל ממד, אם שתי חבורות מרחביות הן איזומורפיות זו לזו, אז יש להן אותו טיפוס אפיני. משום כך, לעתים משתמשים במושג "חבורת סימטריות מרחבית" גם כדי לתאר את טיפוס החבורה, בלי הצגה מפורשת כחבורה אפינית. כשמדובר בקשרים בין חבורה לתת-חבורות, יש להבחין בין הטיפוס לחבורה עצמה; גם [[חבורת מנה|חבורת המנה]] תלויה בדרך כלל בתת-החבורה עצמה, ולא רק בטיפוס שלה.
 
=== ממדיםמיון אחריםבממדים נמוכים ===
 
במימד 1 יש רק שני טיפוסי חבורות: אלו שיש להן סימטריית שיקוף (איזומורפיות לחבורה הדיהדרלית האינסופית), ואלו שאין להן אותהכזו סימטריה (והן ציקליות אינסופיות).
 
במימד 2 יש 17 חבורות סימטריה מרחביות, הידועות גם כ"[[חבורות ריצוף]]" או "חבורות סימטריה מישוריות".
 
במימד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל- 219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמא, <math>P3_112</math> ו- <math>P3_212</math>). בדרך כלל, המונח "חבורת סימטריה מרחבית" מתייחס למקרה התלת-ממדי. לחבורות אלה יש תאור מתמטי, אבל עיקר העניין בהן הוא לצורך תורת הגבישים.
 
במימד 4 יש 4895 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל- 4783 טיפוסים אפיניים
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חבורת_סימטריות_מרחבית"