ריבוע לטיני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט מוסיף: nl:Latijns vierkant |
מ סידור שמות לועזיים עד כמה שאפשר ועוד זוטות |
||
שורה 25:
===ריבועים צמודים===
נסמן ב- <math>\ A_{ij}</math> את הערך המופיע בשורה ה-i והעמודה ה-j של הריבוע A. את התנאי על הופעת כל ערך פעם אחת בכל שורה ובכל עמודה אפשר לנסח מחדש כך: ב-<math>\ n^2</math> השלשות <math>\ \{(i,j,A_{ij})\}</math>, כל שני רכיבים עוברים על כל <math>\ n^2</math> האפשרויות. מכאן רואים שהתפקידים של
===ריבועים דומים===
שורה 31:
כשמשלבים את השקילות והצמידות, כלומר את פעולת הערבוב של שורות, עמודות או סמלים עם פעולת ההחלפה '''בין''' שורות, עמודות וסמלים, צריך להבחין שהפעולות אינן מתחלפות: החלפת שתי שורות שלאחריה מחליפים בין תפקידי השורות והעמודות אינה זהה להחלפת התפקידים שאחריה מחליפים שתי שורות. במלים אחרות, החבורה של פעולות על ריבועים לטיניים הנוצרת מן הפעולות של <math>\ S_n^3</math> ושל <math>\ S_3</math> שהוזכרו קודם לכן, אינה [[מכפלה ישרה|המכפלה הישרה]] של שתי החבורות; זוהי דוגמה נאה ל[[מכפלת זר]] (wreath product), שהיא סוג מיוחד של [[מכפלה ישרה למחצה]].
אם אפשר לעבור מריבוע אחד לריבוע אחר על ידי פעולת השקילות ואחריה פעולת הדמיון (או
==מספרם של הריבועים הלטיניים==
שורה 39:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|+ '''מספר הריבועים הלטיניים בגודל נתון'''
| ''n'' || '''מספר הריבועים
|-
| 1 || 1
שורה 101:
שני ריבועים לטיניים A ו- B הם '''ריבועים מאונכים''' (או אורתוגונליים) אם כאשר כותבים אותם יחד באותו ריבוע, <math>\ n^2</math> הזוגות <math>\ (A_{ij},B_{ij})</math> שונים זה מזה. במלים אחרות, בכל זוג רכיבים ברביעיות <math>\ \{(i,j,A_{ij},B_{ij})\}</math> מופיעות כל <math>\ n^2</math> האפשרויות.
בסביבות [[1780]] מצא [[לאונרד אוילר]] דרך לבנות זוגות של ריבועים לטיניים בכל גודל שאינו מהצורה 4m+2. מאחר שאין זוג של ריבועים לטיניים מאונכים בגודל 2, שיער אוילר שלא קיימים ריבועים מאונכים בגדלים 6, 10, 14 וכו'. ההשערה קיבלה חיזוק כאשר ב-
בעיה שעדיין נותרה פתוחה, היא מציאת המספר המקסימלי של ריבועים לטיניים בגודל n, המאונכים בזוגות. ידוע כי מספר זה לא יכול לעלות על <math>\ n-1</math>, וכי הוא שווה בדיוק למספר זה, כאשר n [[מספר ראשוני]] או [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] של מספר ראשוני. שאלה זו קשורה גם ל[[מישור פרויקטיבי סופי|גאומטריה פרויקטיבית סופית]]: קיים מישור פרויקטיבי סופי מסדר n, [[אם ורק אם]] קיימים <math>\ n-1</math> ריבועים לטיניים בגודל n המאונכים בזוגות.
| |||