לפלסיאן – הבדלי גרסאות

אופרטור לפלס הוא אופרטור דיפרנציאלי מסדר שני ב[[מרחב אוקלידי]] ''n''-ממדי, המוגדר כ[[דיברגנץ]] (<math>\nabla</math>) של ה[[גרדיאנט]] (<math>\nabla f</math>). אם ''<math>\ f'' </math> היא פונקציה [[שדה המספרים הממשיים|ממשית]] [[נגזרת|גזירההגזירה]] פעמיים, אז הלפלסיאן של ''<math>\ f'' </math> מוגדר על ידי

באופן שקול, הלפלסיאן של ''f'' הוא סכום כל ה[[נגזרת חלקית|נגזרות החלקיות]] השניות הבלתי מעורבות ב[[קואורדינטות קרטזיות|קואורדינטות הקרטזיות]] <math>\ x_i</math>:

:<math>\ \Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)

כאופרטור דיפרנציאלי מסדר שני, אופרטור לפלס ממפה [[פונקציה חלקה|פונקציות-''C''^k]] לפונקציות-''C''^k−2 עבור ''k''&nbsp;≥&nbsp;2. הביטויים לעיל מגדירים אופרטור Δ : ''C''^k('''R'''ⁿ) → ''C''^k−2('''R'''ⁿ)&lrm;, או באופן כללי יותר אופרטור Δ : ''C''^k(Ω) → ''C''^k−2(Ω)&lrm; לכל [[קבוצה פתוחה]] Ω.