חבורת סימטריות מרחבית – הבדלי גרסאות

על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת בנאמנות]] על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח ל[[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמאלדוגמה, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג <math>\ \mathbb{Z}</math> כוללת את ה[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, ואפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.

שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה <math>\,x\mapsto b+Ax</math> עם [[דטרמיננטה]] <math>\ \det(A)=1</math>). הטיפוס הקריסטלוגרפי הוא הקובע את האופן שבו החבורה פועלת על סריג, והוא המיון העדין ביותר שיש בו טעם. באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית כלשהי. כל טיפוס אפיני מורכב מטיפוס קריסטלוגרפי אחד או שניים; אם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על- ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.

כאמור לעיל, חבורת סימטריות מלאה של סריג n ממדי [[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על- ידי n הזזות בצירים שונים של הסריג, ועל- ידי הסיבובים השומרים על נקודת הראשית קבועה. כאשר מדובר בחבורת סימטריה מרחבית הכוללת רק חלק מן הסימטריות של הסריג, לא תמיד אפשר ליצור אותה על- ידי פעולות פשוטות, ויש צורך לאפשר גם פעולות כמו "החלקה במישור" ו"סיבוב בורג", המערבות סיבוב והעתקה.

'''סיבוב בורג''' הוא סיבוב של הסריג ביחס לציר, ואחריו העתקה בכיוון אותו ציר. מסמנים את הפעולה במספר, n, המתאר את הסדר של פעולת הסיבוב (לדוגמאלדוגמה, '3' הוא שליש סיבוב). מידת ההעתקה, ביחידות של וקטור הסריג באותו כיוון, נוספת כאינדקס לסדר הסיבוב.

סימון הרמן-מוגן (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה תווים ראשיים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים ב[[חבורת סימטריה נקודתית|חבורות נקודתיות]], בתוספת האפשרות להחלקה במישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמאלדוגמה, החבורה המרחבית של ה[[קוורץ]] היא <math>\,P3_{1}21</math>, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על- ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא [[טריגונלי]]ת במקרה של הקוורץ).

בשיטת סימון זו, הסימן הראשון (<math>3_1</math> בדוגמאבדוגמה) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - <math>\,P3_112</math>, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית <math>\,30^\circ</math> מהם.

בממד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות (היינו, 230 טיפוסים קריסטלוגרפיים), השייכות ל- 219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמאלדוגמה, <math>P3_112</math> ו-<math>P3_212</math>). החבורות האלה מתמיינות ל-32 "מחלקות סריגיות" (crystal classes), על-פי החבורה הנקודתית.

בנוסף לחבורות הסימטריה המרחביות, לומדים גם "חבורות מרחביות מגנטיות" ו"חבורות כפולות", המתאימות למבנים סריגיים, שבהם לכל נקודת סריג יש תכונות נוספות. לדוגמאלדוגמה, בחומרים [[פרומגנטיות|פרומגנטיים]], [[פרימגנטיות|פרימגנטיים]] או [[אנטיפרומגנטיות|אנטיפרומגנטיים]] יש חלקיקים בעלי [[ספין]] [[מגנטיות|מגנטי]]. על הסריגים האלה פועלים, בנוסף לסימטריות הרגילות, גם איבר "היפוך זמן", ההופך את הספין המגנטי ואינו משפיע על מבנה הסריג. אם מביאים בחשבון את איבר היפוך הזמן, יש 1,651 "חבורות מרחביות מגנטיות" בשלושה ממדים.<ref> p.428 Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals. By Shoon Kyung Kim.1999. Cambridge University. Press.ISBN 0521640628</ref>