עוצמת הרצף – הבדלי גרסאות

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם ניתןיש להחליףעוצמה אתקטנה הסימןמזו <math>\!\,של \aleph</math> בסימן <math>\!\הרצף, \aleph_1</math>פרט ?", כלומר האם כאשר נסדר את העוצמות לפי גודלן, עוצמת הממשיים ([[עוצמת הרצף]]) תבוא מיד לאחר עוצמתלעוצמת הטבעיים?, או שיש עוצמה נוספת בין שתיהן. ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "[[השערת הרצף]]", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיוביתשלילית, כלומר: שכלכל [[קבוצה אינסופית]] שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף. [[דוד הילברט]] מנה את הבעיה הזו כ[[הבעיה הראשונה של הילברט]] מבין [[23 הבעיות של הילברט|23 הבעיות המפורסמות]] שלו.
אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]] הוכיח [[קורט גדל]], בשנת [[1940]], שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של תורת הקבוצות (אקסיומות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]). בשנת [[1963]] הוכיח המתמטיקאי [[פול כהן]] שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל [[משפט אי השלמות של גדל]], כלומר אי אפשר ל[[הוכחה|הוכיחה]] ואי אפשר ל[[הפרכה|הפריכה]], ולכן ה[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקביות]] של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.