שדה מקומי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 19:
* חוג המנה <math>\, \bar{F}=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> הוא [[שדה סופי|שדה סופי]] (מאחר והוא קומפקטי ו[[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטי]]), הנקרא '''שדה השאריות'''.
* כל כדור אפשר לפרק כאיחוד של <math>\ q=|\bar{F}|</math> כדורים מרדיוס קטן יותר; לפיכך, השדה הוא [[מרחב טופולוגי]] [[מרחב לא קשיר לחלוטין|לא קשיר לחלוטין]].
=== חוג השלמים ===▼
חוג השלמים בשדה מקומי (לא ארכימדי) הוא [[תחום ראשי]] [[חוג מקומי|מקומי]], והמנות שלו כולן סופיות. גם ההיפך נכון: כל חוג ראשי מקומי סופי הוא מנה של חוג שלמים בשדה מקומי מתאים.▼
==דוגמאות==
שורה 39 ⟵ 43:
בכל הרחבה E של F יש תת-שדה לא מסועף מקסימלי, וההרחבה של E מעליו היא מסועפת לחלוטין.
== תורת שדות המחלקה ==
▲== חוג השלמים ==
תורת שדות המחלקה (class field theory) היא אחד מאבני היסוד של [[תורת המספרים האלגברית]]. עבור שדות מקומיים אפשר לסכם את עיקריה כדלקמן. לכל הרחבת גלואה K/F של שדות מקומיים, עם [[חבורת גלואה]] G מ[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] n, [[חבורת קומוהולוגיה|חבורת הקוהומולוגיה השניה]] <math>\ H^2(G,K^\times)</math> (שהיא [[חבורת בראוור]] היחסית של ההרחבה) היא ציקלית מסדר n. יש העתקה כפלית בשני המרכיבים <math>\ H^2(G,K^{\times}) \times G \rightarrow F^{\times}/N_{K/F}(K^{\times})</math>, כך שאם קובעים יוצר של החבורה במרכיב הראשון, ההעתקה היא על, והגרעין ברכיב השני הוא [[תת-חבורת הקומוטטורים]] של G. בפרט <math>\ F^\times/ N(K^{\times})</math> איזומורפית ל[[אבליניזציה]] <math>\ G/G'</math> של <math>\,G</math>.
▲חוג השלמים בשדה מקומי (לא ארכימדי) הוא [[תחום ראשי]] [[חוג מקומי|מקומי]], והמנות שלו כולן סופיות. גם ההיפך נכון: כל חוג ראשי מקומי סופי הוא מנה של חוג שלמים בשדה מקומי מתאים.
==ראו גם==
| |||