סריג (מבנה סדור) – הבדלי גרסאות

אחת הדוגמאות הבסיסיות לסריג הוא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות האיחוד והחיתוך כמצרף ומפגש. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות הוא סריג. כל [[יחס סדר מלא]] הוא סריג כי בו המצרף של שני איברים הוא הגדול מביניהם, והמפגש של שני איברים הוא הקטן מביניהם.

 

בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל [[קבוצה סופית]]. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרמום הסריג נקרא '''שלם'''. כל סריג שלם הוא '''חסום''': יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של הקבוצה הריקה), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, אם ורק אם הסדר וההפכי לו שניהם [[יחס סדר טוב|יחסי סדר טובים]].

 

== סריגים למחצה ==

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה '''סריג-למחצה עליון''', ובאופן דומה- אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה '''סריג-למחצה תחתון'''. היפוך של יחס הסדר מחליף בין שני טיפוסי הסריגים-למחצה.

 

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות אלגבריות חשובות: היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] (<math>\ (a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)</math>), [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]] (<math>\ a \vee b = b \vee a</math>), ואידמפוטנטית (<math>\ a \vee a = a</math>). מאידך, בקבוצה עם פעולה בינארית <math>\ \circ</math> שהיא אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית, אפשר להגדיר יחס סדר (<math>\ a \leq b</math> אם ורק אם <math>\ a \circ b = a</math>), ואז <math>\ a \circ b</math> הוא המצרף של a ו-b. לכן סריג-למחצה אינו אלא קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית.

 

 

== סריגים מודולריים ==

בכל סריג, אם <math>\ a \leq b</math>, אז לכל c מתקיים <math>\ a \vee (c \wedge b) \leq (a \vee c) \wedge b</math>. אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא '''מודולרי'''. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של חבורה, או סריג תת-המודולים של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]].

 

 

== לקריאה נוספת ==

* Lattices and Ordered Sets, Steven Roman.