משפט הקטגוריה של בייר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הוכחת המשפט: סדר וניקיון |
The Hatter (שיחה | תרומות) מ הוספת שורת הסבר |
||
שורה 15:
# <math>\overline {B(x_i,r_i)} \subseteq \overline {B(x_{i-1},r_{i-1})}</math>
# <math>\ 2r_i < r_{i-1}</math>
מהתנאי השני, מקבלים סדרת [[כדור_(טופולוגיה)|כדורים סגורים]], כאשר כל כדור מכיל את כל הכדורים אחריו בסדרה. התנאי הראשון ידאג לכך שהחיתוך של כל הכדורים יהיה זר ל A. התנאי השלישי יגרום לכך שהקוטר של הכדורים ישאף לאפס, ואז יהיה ניתן להפעיל את [[משפט החיתוך של קנטור]], כדי להראות שהחיתוך לא ריק - פה משתמשים בעובדה שהמרחב שלם.
נראה ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] כיצד בונים את הסדרה:
שורה 32 ⟵ 34:
הסדרה <math>\ (x_1,x_2,x_3,\dots)</math> היא [[סדרת קושי]] וזאת מאחר שאם <math>\ n>m</math> אז <math>x_n ,x_m \in B(x_m, r_m)</math> ומכאן מקבלים ש-<math>\ \|x_n - x_m\|< 2r_m < 2 \cdot 2^{-m}</math>. המרחב <math>\ X</math> הוא שלם ולכן הסדרה מתכנסת לגבול <math>\ x</math>.
לכל <math>\ n</math>, זנב הסדרה החל מהאיבר ה-<math>\ n</math>-י מוכל ב-<math>\overline {B(x_n,r_n)}</math> שזו קבוצה סגורה ולכן <math>\ x \in \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap K_n ^c </math> לכל <math>\ n</math>, ולכן
<div style="text-align: center;">
<math>x\in \bigcap_n \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap \left(\bigcap_n K_n ^c \right) = U \cap \left( \bigcup_n K_n \right)^c = U\cap A^c</math>
</div>
קיבלנו ש-<math>\ U\cap A^c \neq \emptyset</math> לכל קבוצה פתוחה <math>\ U</math>, ולכן <math>\ A</math> היא בעלת פנים ריק.
| |||