משפט הקטגוריה של בייר

משפט הקטגוריה של בייר (Baire) הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. המשפט קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בייר.

המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס. המשפט מוכיח כי המרחבים $\mathbb {R} ^{n}$ הם מרחבי בייר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.

המשפט הוכח לראשונה בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בייר.

מונחים בסיסיים

בהנתן מרחב טופולוגי $X$ וטופולוגיה ${\mathcal {T}}$:

• קבוצה $N\subseteq X$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה לא ריקה $U\in {\mathcal {T}}$ קיימת תת-קבוצה פתוחה לא ריקה ${\mathcal {T}}\ni V\subseteq U$ כך ש-$N\cap V=\emptyset$.
• קבוצה $A\subseteq X$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא יכולה להכתב כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
• המרחב $X$ כולו ייקרא מרחב בייר אם ורק אם לכל תת-קבוצה $A\subseteq X$ מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.

באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי.

ניסוח המשפט

למשפט שני ניסוחים:

משפט בייר הראשון: יהי $X$ מרחב מטרי שלם. אזי, $X$ הוא מרחב בייר.

משפט בייר השני: יהי $X$ מרחב רגולרי קומפקטי מקומית. אזי $X$ הוא מרחב בייר. הדבר נכון בפרט כאשר $X$ הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.

תקציר הוכחת המשפט

נתון מרחב טופולוגי $X$ וטופולוגיה ${\mathcal {T}}$ העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל. כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה $A\subseteq X$. כדי להוכיח ש-$X$ הוא מרחב בייר, יש להוכיח כי הפנים של $A$ ריק. מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה $U\in {\mathcal {T}}$ קיימת נקודה שאינה ב-$A$, כלומר $U\cap A^{\complement }\neq \emptyset$.

בגלל ש-$A$ קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר $A=\bigcup A_{n}$ כאשר $A_{n}$ קבוצות דלילות. בונים סדרה של קבוצות קומפקטיות $\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$:

1. $\operatorname {Int} (B_{n})$ (הפנים של $B_{n}$) לא ריק, ולכן גם $B_{n}$ לא ריק.
2. $B_{n}\subseteq U\cap A_{n}^{\complement }$
3. $B_{n+1}\subset \operatorname {Int} (B_{n})$.

יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, לכן $B_{n}$ קבוצות סגורות. כאשר מדובר במרחב מטרי, $B_{n}$ נבנים בעזרת כדורים סגורים. במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את $B_{n}$ על-ידי לקיחת סביבה קומפקטית לאיבר כלשהו מ-$B_{n-1}$ העומדת בתנאים.

כעת מגדירים $B:=\bigcap _{n=1}^{\infty }{B_{n}}$. יש להוכיח כי $B$ אינו ריק. מניחים בשלילה כי $B$ קבוצה ריקה. לכן משפחת המשלימים $\{B_{n}^{\complement }\}_{n=2}^{\infty }$ היא כיסוי פתוח של $B_{1}$. בגלל הקומפקטיות של $B_{1}$ קיים תת-כיסוי סופי. ניתן להסיק מכך כי קיים $n\geq 2$ כך ש-$B_{1}\subseteq B_{n}^{\complement }$. מצד שני $\emptyset \neq B_{n}\subset B_{1}$, וזו סתירה.

מכיוון ש-$B$ אינו ריק, קיים $x\in B$. לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $x\in B\subseteq B_{n}\subseteq U\cap A_{n}^{\complement }$. לכן:

$x\in U\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }{A_{n}^{\complement }}=U\cap \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\right)^{\complement }=U\cap A^{\complement }$

משמע $U\cap A^{c}\neq \emptyset$, ובכך מוכיחים את המשפט. מ.ש.ל.

מסקנות מן המשפט

• במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
• כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בייר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
• קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת $G_{\delta }$ (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
• אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות (פונקציית רימן מקיימת את המקרה ההפוך).
• סדרת פונקציות רציפות שמתכנסת נקודתית מתכנסת לפונקציה רציפה כמעט בכל מקום (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).