|
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב האוסדורף''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות, כלומר, לכל שתי נקודות במרחב יש [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] [[קבוצה פתוחה|פתוחות]] ו[[קבוצות זרות|זרות]]. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי [[פליקס האוסדורף]]. הם נקראים גם מרחבי <math>T_2</math>, על-פי עוצמתה של [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] שהם מקיימים. כל ה[[מרחב מטרי|מרחבים המטריים]] הם האוסדורף.
{{עריכה|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב האוסדורף''' או מרחב <math>T_2</math> הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות.
בצורה פורמלית, [[מרחב טופולוגי]] יקרא האוסדורף אם ורק אם לכל שתי נקודות כלשהן של המרחב, קיימות [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] [[קבוצה פתוחה|פתוחות]] וזרות.
המרחב קרוי על שם המתמטיקאי [[פליקס האוסדורף]].
==התכנסות במרחבי האוסדורף==
מרחבים שאינם האוסדורף מתנהגים בצורה שונה מרוב המרחבים הסטנדרטיים. למשל, במרחב שאינו האוסדורף יכולה [[סדרה]] להתכנס ליותר מאשר [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] אחד. נדגים זאת, ונוכיח שאם המרחב הוא האוסדורף, לסדרה יש לכל היותר גבול יחיד.
יהא <math>\!\, X</math> מרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה ה[[טופולוגיה קו-סופית|קו-סופית]], כלומר הטופולוגיה בה כל הקבוצות הפתוחות הן הקבוצות ש[[משלים (תורת הקבוצות)|משלימותיהן]] סופיות.
תהא <math>\!\, x_n</math> סדרה שכל איבריה שונים זה מזה, ותהא <math>\!\, x</math> נקודה כלשהי במרחב. כל סביבה פתוחה של <math>\!\, x</math> היא קבוצה שמשלימתה סופית, כלומר כל אברי המרחב פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כל אברי הסדרה <math>\!\, x_n</math> פרט אולי למספר סופי נמצאים בה, כלומר כמעט כל אברי <math>\!\, x_n</math> נמצאים בה (כי מספרם של האיברים השונים זה מזה בסדרה הוא אינסופי). על כן, <math>\!\, x_n\rarr x</math> וזאת '''לכל''' <math>\!\, x\isin X</math>.
במרחב האוסדורף X לכל [[סדרה מתכנסת]] יש [[גבול (טופולוגיה)|גבול]] יחיד. אכן, אם x,y היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, כל סביבה שלהן צריכה להכיל [[כמעט כל|כמעט את כל]] אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות.
במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה ה[[טופולוגיה קו-סופית|קו-סופית]], סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האברים). משום כך, מושג הגבול שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף.
הראינו את התוצאה הלא אינטואיטיבית לפיה במרחב <math>\!\, X</math> קיימת סדרה שמתכנסת לכל אחד מאברי המרחב.
כעת נוכיח כי אם מרחב <math>\!\, X</math> כלשהו הוא האוסדורף, לסדרה מתכנסת כלשהי <math>\!\, x_n</math> יש גבול יחיד. נניח בשלילה שיש לסדרה שני גבולות: <math>\!\, x_n\rarr a,x_n\rarr b </math>. כעת, מכיוון שהמרחב הוא האוסדורף, קיימות קבוצות פתוחות <math>\!\, U,V</math> כך ש<math>\!\, a\isin U ,b\isin V</math> ומתקיים <math>\!\, U\cap V=\emptyset</math>. כעת, קבוצות פתוחות אלו מהוות סביבות של הנקודות <math>\!\, a,b</math> ולכן על פי הגדרת ההתכנסות, כמעט כל אברי הסדרה <math>\!\, x_n</math> שייכים הן ל-<math>\!\, U</math> והן ל-<math>\!\, V</math>, ומאחר שקבוצות אלו זרות, הגענו לסתירה - לא ייתכן שהחל ממקום מסוים, כל אברי הסדרה יהיו שייכים בו זמנית לשתי [[קבוצות זרות]]. מכאן שיש לסדרה גבול יחיד.
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
{{טופולוגיה}}
|
